동적 변분-점근적 과정을 통한 최적의 빔 이론

2.1 3차원 빔 기하학

우선 임의의 외부하중에 의한 빔의 변형 전과후의 형상들을 기하학적으로 표현하기 위해, 관련된 각 빔 단면적(C-S: Cross-section)의 기준선에 수직한 직교 프레임(frame)들과 이들을 구성하는 방향 단위벡터들인 b_i와 B_i가 Fig. 1과 같이 사용된다. (본 논문 내에서 아래첨자 α는 2와 3을 의미하고, 아래첨자 i와 j는 1, 2와 3을 나타낸다.) 그러므로 변형 전과 변형 후 질점에 대한 3차원 위치벡터들은 다음과 같이 정의된다.

Fig. 1

Schematic of beam deformation

여기서 r과 R = r + u은 변형 전과 후의 기준선상의 점에 대한 위치벡터이며, u = u_ib₁은 1차원 변위벡터를 나타낸다. 그리고 w_i는 R와 B_i 이외 임의의 빔 변형들을 나타내는 미지의 3차원 변동함수이다. 또한 두 방향 단위벡터들의 관계식은 관련된 프레임들 간의 회전을 나타내는 방향 코사인 행렬(C^Bb)으로서 수식화가 이루어진다.

특히, 변동함수 내 빔 강체(rigid body)거동에 대한 영향이 배제되고 $$ \widehat{\mathbf{\text{R}}}$$과 (R, B_i, w_i) 간의 고유한 일대일 관계식이 유지되기 위해 네 가지 구속조건들이 식 (2)로부터 정의된다.

여기서, < >은 단면적으로 정적분하는 것을 의미한다.

다음으로 확장된 해밀턴(Hamilton)이론을 활용하여 임의의 3차원 빔 거동을 해석하기 위해서는 3차원 변형률 장(Γ_ij)과 속도 장($$ V_i^{\text{*}}$$)이 1차원 고전 변형률($$ {\overline{\gamma }}_{11}$$) 및 곡률($$ {\overline{\kappa }}_i$$)와 고전 선속도($$ {\overline{v}}_i$$) 및 각속도($$ {\overline{\omega }}_i$$)로 표현되어야 한다.

여기서, Γ = [Γ₁₁ 2Γ₁₂ 2Γ₁₃ Γ₂₂ 2Γ₂₃ Γ₃₃]^T,

$$ w={\left[w_1 w_2 w_3\right]}^T, \overline{\epsilon }={\left[{\overline{\gamma }}_{11} {\overline{\kappa }}_1 {\overline{\kappa }}_2 {\overline{\kappa }}_3\right]}^T,$$

$$ V^{\text{*}}={\left[V_1^{\text{*}} V_2^{\text{*}} V_3^{\text{*}}\right]}^T, \overline{v}={\left[{\overline{v}}_1 {\overline{v}}_2 {\overline{v}}_3\right]}^T,$$

$$ \overline{\omega }={\left[{\overline{\omega }}_1 {\overline{\omega }}_2 {\overline{\omega }}_3\right]}^T$$, ( )^ʹ = ∂()/∂x₁, (^ㆍ) = ∂()/∂t, Δ₃와 O₃은 3 × 3 단위행렬과 영행렬을 나타낸다. 그리고 식 (6)과 (7)에서 소개된 연산자들은 다음과 같이 표현된다.

2.2 변분-점근법을 통한 확장된 해밀턴 이론

3차원 빔 구조의 정적 및 동적 거동을 분석하기 위해 확장된 해밀턴 이론의 변분식²⁾이 주로 사용된다. 또한 식 (2)내 미지의 3차원 변동함수가 확장된 해밀턴 이론을 통해 계산되어질 때, 일반적인 수치해석 기법이 직접적으로 이 과정에서 구현되어질 수 있다. 하지만 이런 방식은 기존의 3차원 탄성동역학 문제를 3차원 FEM으로 구현하는 것과 동일하게 과도한 전산 비용 및 시간의 문제들을 야기시킨다. 따라서 수치해석상에 발생할 수 있는 문제들을 해결하기 위해, 변분-점근법²⁾을 활용한 차원-감소 과정이 확장된 해밀턴 이론에 도입된다. 여기서 이와 같은 과정이 가능한 이유는 통상적으로 공학용 빔 구조의 종횡비와 변형률 모두 충분히 작다는 사실을 근거로 하고 있기 때문이다.

변분-점근법이란 빔 구조 내 역학적 및 기하학적 고유변수의 미소성(infinitesimal)을 기반으로 한 차원-감소 과정으로 3차원 탄성학 문제를 비선형 1차원 빔 문제와 선형 2차원 단면적 문제로 나누어 병렬적으로 해석하는 방식이다. 이러한 방식은 3차원 FEM기반의 직접적인 해석 방식의 대안으로서, 여러 문헌들^2,4)을 통해 높은 수준의 정확성과 효율성이 검증되었다. 따라서 확장된 해밀턴 이론의 3차원 변분식에 변분-점근법을 수행함으로서, 다음과 같은 빔의 1차원 에너지 범함수로 재구성되어진다.

여기서, t₁과 t₂는 고정된 임의의 시간을 의미하고, l은 빔의 전체 길이이며, δW는 다양한 외부 하중의 영향으로 발생된 에너지를 수식화한 가상일을 나타낸다. 그리고 라그랑지안(Lagrangian)인 L은 단위 길이 당 운동에너지 밀도와 탄성에너지 밀도의 차로 정의된다.

또한 K와 U는 식 (6)과 (7)을 사용하여 간결하게 행렬 형식으로 정의된다.

여기서, ρ는 질량밀도, D는 6 × 6 재료상수 행렬이다.

비록 식 (9)는 3차원 해석방식의 대안으로 사용함으로써 이론의 효율성이 증대되지만, 식 (9)로 주어진 비선형 1차원 빔 문제를 해결하기 위해, 선형 2차원 빔 단면적 해석이 우선적으로 수행되어야 한다. 이때 이론의 고범용성을 위한 2차원 FEM의 전산화 기법이 본 이론의 개발과정에서 도입되어지고, 이는 3차원 변동함수를 다음과 같이 변수분리화 함으로써 구현되어진다.

여기서, S는 형상함수이고, W는 단면적의 변동에 대한 절점 값인 함수이다.

식 (13)를 식 (11), (12)에 대입함으로써, 운동에너지와 탄성에너지는 전산화에 용이한 형태로 구해진다.

여기서, 무차원 변수인 ζ_α = h^-1x_α가 사용되었고, , D_tv = <S>, ,

H = <S^TS>, E = <[Γ_hS]^TD[Γ_hS]>,
D_hε = <[Γ_hS]^TD[Γ_ε]>,
D_hl = <[Γ_hS]^TD[Γ_ε]>,
D_εε = <[Γ_ε]^TD[Γ_ε]>, D_lε = <[Γ_lS]^TD[Γ_ε]>,
D_ll = <[Γ_lS]^TD[Γ_lS]> 이다.

2.3 동적 변분-점근법을 통한 장파장내 저주파 및 고주파 진동 근사과정

본 이론은 다양한 주파수의 진동영역아래 점근적인 차원감소과정을 구현하기 위해, 정역학적인 공간척도의 오더(order)만 고려한 기존의 변분-점근법과는 달리, 동역학적인 시간척도의 오더 또한 함께 다루고 있다. 즉 동적 변분-점근법이란 장파장내 저주파(LF: Low frequency)와 고주파(HF: High frequency) 진동영역을 다음과 같은 시간척도들로 정의하고, 각 영역에 대하여 이를 선별적으로 고려함으로써 변분-점근법이 수행되는 방법을 의미한다.

여기서, c_s는 전단파의 속도를 나타내며, τ는 시간오더로서 임의의 시간 내 구조변형에 대한 변화크기를 의미한다.

먼저 장파장내 저주파 진동에 대한 근사 과정을 위해 식 (16)의 시간척도 오더를 고려하자. 그러면 기존의 변분-점근법^4,5,7)으로부터 계산되어진 결과와 동일한 오일러(Euler) 방정식과 무차원 해를 도출하게 된다.

여기서, λ는 라그랑주 승수(Lagrange multiplier)이다. 그리고 $$ E_{cl}^{+}=E^{+}\left[∆-H{\Phi }_{cl}{\left({\Phi }_{cl}\right)}^T\right]$$이며 ( )⁺는 유사역행렬(pseudo inverse)을 나타낸다. 추가적으로 Φ_cl은 앞서 소개된 빔 구속조건에 해당하는 3N × 4 행렬 (여기서 N은 단면적의 절점의 개수를 나타낸다.)이며 E에 의해 다음과 같이 정의된다.

반면에 식 (17)의 시간척도 오더는 장파장내 고주파 진동에 대한 근사과정을 수행하게 된다. 이러한 근사과정은 본 문제를 2차원 평면 문제로 가정한 Le의 연구⁸⁾가 이미 이루어졌지만, 3차원 빔 문제 그 자체를 다룬 연구는 아직까지도 문헌들 내에서 찾기 어렵다. 따라서 본 연구는 어떠한 공간적 가정 없이 3차원 문제 그 자체로 다루고자 한다.

먼저 식 (17)의 관계식을 식 (14)과 (15)에 대입하고 정의된 오더의 척도로 주요한 항들을 선별하게 된다. 그러면 0차 근사과정으로서 기존의 3차원 빔 문제는 빔 단면적에 대한 고유치문제로 전환되고 다음과 같은 0차 근사해가 구해진다.

식 (21)에서 Λ은 3N × 3N 고유값인 고유진동수의 대각행렬이고 Φ은 진동수에 대한 모드형상들을 나타내는 고유벡터의 3N × 3N 행렬이다. 그리고 $$ \overline{V}$$는 고유벡터의 모드형상과 연관된 3N × 1 열행렬을 의미한다. 또한 이후 빔 진동해석을 용이하게 위해, W₀은 Φ내 고유벡터들 간의 직교성 및 면외 방향(out-of-plane)과 면내 방향(in-plane) 빔 진동들 간의 연관을 고려한 개별적인 진동분기(vibration branch)로서 다음과 같이 정의되어진다.

여기서, 면외 및 면내 방향 진동들을 구분하기 위해 새로운 첨자 d와 k가 소개되어지며, 특히, k는 d에 따른 모드형상의 순서를 나타낸다.

동적 변분-점근과정의 다음단계인 1차 근사과정을 수행하기 위해, 새로운 미지 함수인 $$ W_1=h{W}_k^d$$가 개별적인 진동분기인 변동함수(W₀)에 점근적으로 소개되어진다.

다음으로 식 (24)와 식 (17)을 활용하여, 미지의 변동함수에 관련된 주요 항들로 이루어진 아래의 식이 구해진다.

여기서, $$ H_k^d=\left(E-{\Lambda }_k^{d}H\right)$$, $$ D_L^{dk}=\left(D_{hl}-D_{hl}^T\right){\Phi }_k^d$$, λ는 라그랑주 승수이다. 그리고 앞선 소개된 0차 근사과정을 동일하게 수행하면, 변동함수는 다음과 같이 $$ {\overline{V}}_k^{d\text{'}}$$와의 선형적인 관계식으로 계산되어진다.

여기서, $$ {\Phi }_L^{dk}=-{\left(H_k^d\right)}^{+}{D}_L^{dk}$$이다.

2.4 쌍곡 단파 외삽법화된 에너지 범함수

수학적 관점으로 식 (22)와 (26)을 이용함으로 고주파 에너지 범함수가 정확히 계산되어지지만, 매우 특별한 경우 이러한 변동함수들은 빔 구조 에너지의 양한정성(positive definiteness)을 무효화라는 심각한 역학적 오류를 야기시킬 수 있다. 그러므로 본 이론에서 유도된 빔의 1차원 에너지 범함수가 항상 양한정성을 유지하기 위해, 쌍곡 단파 외삽법(hyperbolic short-wave extrapolation)⁴⁾이 다음과 같이 수행되어진다. 먼저 광범위한 주파수내 빔 구조의 동적 거동을 해석하기 위해, n개 진동분기의 자유도(4개 저주파 자유도와 p + q개 고주파 자유도)로 이루어진 에너지 범함수가 연관된 저주파 및 고주파의 변동함수들과 함께 계산된다. 그리고 이러한 함수 내 발생하는 저주파 및 고주파의 교차된 항들은 쌍곡 단파 외삽법의 변수 치환을 통해 다음과 같은 양한정성인 라그랑지안으로 정의된다.

여기서 $$ \epsilon ={\left[{\gamma }_{11}{\kappa }_1{\kappa }_2{\kappa }_3\right]}^T, \widehat{\gamma }={\left[{\gamma }_{11}0 0 0\right]}^T$$,

$$ S_{\epsilon }=V_0^T{D}_{h\epsilon }+D_{\epsilon \epsilon }, {\alpha }_k^d={\left({\Phi }_k^d\right)}^{T}H{\Phi }_k^d, Y_k^d={\Lambda }_k^d{\alpha }_k^d$$,

$$ {\overline{T}}_k^d={\left({\Phi }_L^{dk}\right)}^T{D}_L^{dk}+{\left({\Phi }_k^d\right)}^T{D}_{ll}{\Phi }_k^d, S_A^{cq}={\left({\Phi }_q^c\right)}^T{D}_{h\epsilon }$$,

$$ S_A^{lp}=\left[{\left(V_0\right)}^{T}E+D_{h\epsilon }^T\right]{\Phi }_L^{lp}+\left[{\left(V_0\right)}^T{D}_{hl}+D_{l\epsilon }^T\right]{\Phi }_p^l$$,

$$ S_{cq}^{lp}={\left({\Phi }_q^l\right)}^T{D}_{hl}{\Phi }_q^c, S_{lp}^{cq}={\left({\Phi }_q^c\right)}^T{D}_{hl}{\Phi }_p^l$$,

$$ X_{lp}^{cq}={\left[{\Phi }_p^l{\left({\alpha }_p^l\right)}^{+}\right]}^{T}H{\Phi }_L^{cq}, X_{cq}^{lp}={\left[{\Phi }_q^c{\left({\alpha }_q^c\right)}^{+}\right]}^{T}H{\Phi }_L^{lp}$$,

$$ S_{\gamma }=-\left\{\begin{array}{c}{\left({\left[{\left({\Phi }_q^c\right)}^{+}\right]}^{T}H{V}_0\right)}^T {\Lambda }_k^d{\left[{\left({\Phi }_q^c\right)}^{+}\right]}^{T}H{V}_0\hfill \\ +2{\left({\left[{\left({\Phi }_q^c\right)}^{+}\right]}^{T}H{V}_0\right)}^T{\left({\Phi }_k^d\right)}^T{D}_{h\epsilon }\hfill \end{array}\right\}$$,

$$ T_p^l=\left\{\begin{array}{c}{\overline{T}}_p^l+{\left[D_{tv}{\Phi }_L^{lp}\right]}^T{\Lambda }_p^l\left[D_{tv}{\Phi }_L^{lp}\right]\hfill \\ -{\left[S_A^{lp}\right]}^T{S}_{\epsilon }^{+}\left[S_A^{lp}\right]+{\left[\widehat{H}{\Phi }_L^{lp}\right]}^T{\Lambda }_q^c{D}_{\omega \omega }^{+}\left[\widehat{H}{\Phi }_L^{lp}\right]\hfill \\ +{\left[X_{cq}^{lp}{\Lambda }_p^l\right]}^T{\alpha }_q^c\left[X_{cq}^{lp}\right]-{\left[X_{cq}^{lp}\right]}^T{Y}_q^c\left[X_{cq}^{lp}\right]\hfill \\ +2\left[S_{cq}^{lp}\right]\left[X_{cq}^{lp}\right]-2{\left[X_{cq}^{lp}\right]}^T\left[S_{lp}^{cq}\right]\hfill \end{array}\right\}$$,

$$ T_q^c=\left\{\begin{array}{c}{\overline{T}}_q^c+{\left[D_{tv}{\Phi }_L^{lp}\right]}^T{\Lambda }_p^l\left[D_{tv}{\Phi }_L^{lp}\right]\hfill \\ +{\left[X_{lp}^{cq}{\Lambda }_q^c\right]}^T{\alpha }_p^l\left[X_{lp}^{cq}\right]-{\left[X_{lp}^{cq}\right]}^T{Y}_p^l\left[X_{lp}^{cq}\right]\hfill \\ +2\left[S_{lp}^{cq}\right]\left[X_{lp}^{cq}\right]-2{\left[X_{lp}^{cq}\right]}^T\left[S_{cq}^{lp}\right]\hfill \end{array}\right\}$$

와 같은 표현들이 사용되어진다.

또한 기존의 에너지 범함수와 쌍곡 단파 외삽법이 작용된 에너지 범함수를 구별하기 위해 다음과 같은 기호가 식 (27)에 도입되었다.

최종적으로 식 (27)을 식 (9)에 대입한 후 변분 원리가 적용되어지면 광범위한 진동영역을 다룰 수 있는 1차원 빔 운동방정식이 도출되어진다. 특히 주파수와 파수의 변수로 이루어진 해 z_m = c_me^{i(κξ - ϑτ)}을 가정하여 결과식에 대입하면, 동적 빔 거동의 고유 특성을 나타내는 1차원 분산관계식이 계산되어진다. 여기서 z_m은 임의의 1차원 변수를 나타내며. c_m은 해당 변수의 임의의 상수를 나타낸다. (상수 m을 통해 각각의 1차원 변수를 구분한다; m ≤ n) 그리고 κ는 무차원 파수이고 ϑ는 무차원 주파수이다.

3.1 저주파 및 고주파 진동 모드형상들

임의의 자유도를 기반으로 한 빔 모델을 소개하기 전에 먼저 이를 구성하는 각 자유도와 빔 변형의 관련성을 보여주고자 한다. 이를 통한 논리적 접근은 기존연구^5,6,7)와 차별화되는 부분으로 빔 진동 모드형상을 가시화함으로써 쉽게 검증되며, DVABS를 통해 다양한 빔의 고유진동수와 이와 연관된 모드형상들이 구현된다. 붉은색 점선은 변형 전 단면적을 나타내며 반면에 파란색 실선은 DVABS로 계산되어진 모드형상을 나타낸다.)

Fig. 2는 고전 빔 이론의 4개의 제로인 고유진동수에 대한 모드형상들을 나타내고 있다. 이들은 각각 강체의 인장(1^st 면외 방향 종진동), 굽힘(1^st 면내방향 횡진동) 그리고 비틀림(1^st 면내 비틀림진동) 거동들로 구성된 저주파 진동을 의미한다.

Fig. 2

LF vibration mode shapes of Solid C-S

다음으로는 고주파 진동을 나타내는 단면적 진동의 모드형상은 Fig. 3에 보이는 바와 같다. (각모드형상의 왼쪽 상단은 모드형상의 순서를 나타내고, 아래에는 각 모드형상의 진동분기를 나타내었다.) 그림에서 나타난 모드형상 이후로도 많은 모드 형상이 존재하지만, 본 논문의 관심사항이 아니므로 고유진동수의 값 크기순으로 6개의 고주파 진동 모드형상들만을 나타내었다.

Fig. 3

HF vibration mode shapes of Solid C-S

첫 번째와 두 번째 모드형상은 Fig. 2의 두 번째와 세 번째인 강체 굽힘 모드의 고주파 진동으로 빔 거동의 가로-전단(transverse-shear) 변형에 해당하고 1^st 면외 방향 횡진동을 나타낸다. 다음으로 세 번째 모드형상은 Fig. 2의 첫 번째인 강체 인장 모드의 고주파 진동으로 면내 방향 인장-비틀림 뒤틀림(distortion)변형을 나타내고, 1^st 면내 방향 종진동을 의미한다. 이어서 네 번째, 다섯 번째 모드형상은 첫 번째와 두 번째 모드의 고주파 진동으로 2^nd 면내 방향 횡진동에 해당한다. 마지막으로 여섯 번째 모드는 Fig. 2의 네 번째인 강체의 비틀림 모드의 고주파 모드형상으로 2^nd 면외 방향 종진동을 나타낸다.

그리고 DVABS를 통해 구해진 Fig. 2와 Fig. 3의 결과들은 기존의 문헌⁷⁾과 비교하여 결과들의동일함으로 본 이론의 정확성을 검증하였다.

3.2 고전 빔 모델과 티모센코 빔 모델

본 이론을 통한 빔모델 개발의 체계성과 확장성을 검증하기 위해, 먼저 DVABS를 통해 4개의 자유도 고전 빔모델(분홍색 실선)과 6개의 자유도 티모센코 빔모델(파란색 실선)을 구현하여 Fig. 4에 가시화하였다. 또한 본 이론의 효율성과 정확성을 검증하기 위해, 상응하는 3차원 분산곡선(연두색 원형 실선)은 상용수치해석프로그램인 COMSOL^TM을 통해 구현하여 함께 나타내었다. 본 그림에서 먼저 고전 빔 모델과 3차원 FEM의 분산곡선들을 비교해 살펴보면, 차단 주파수(cut-off frequency)근처 매우 제한된 장파장 저주파 영역 외에는 고전 빔 모델을 사용한 해석결과는 다소 만족할만한 정확성을 얻기가 힘들다는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 4

Dispersion curves for Solid C-S (1)

다음은 동적 빔 거동의 해석능력을 향상시키기 위해, 고전 빔 이론의 진동 모드에 가로-전단변형인 1^st 면외 방향 횡진동 모드를 추가한 6개의 자유도 티모센코 빔 모델에 대해 살펴보자. 특히 추가한 진동 모드에 의해 강체의 굽힘 변형을 나타내는 1^st 면내 방향 횡진동 분기의 곡선이 고전 빔 모델의 분산곡선과 비교해 크게 향상됨을 볼 수 있다. 이러한 경향의 물리적 이유는 앞서 언급하듯이 추가한 모드형상이 강체의 굽힘 모드의 고주파 진동 모드형상이기 때문이다. 이에 따른 모드형상간의 연관성에 의해 티모센코 빔 모델이 고전 빔 모델보다 높은 정확도를 보여주지만, 빔의 동적거동을 정확히 묘사하기에는 다소 부족함을 그래프를 통해 검증된다.

3.3 최적화된 10개의 자유도 빔 모델

마지막으로, 본 연구는 티모센코 빔 모델의 정확성을 향상하기 위해 다수의 진동모드들을 추가한 빔 모델들을 개발해 보았다. 이 과정에서 각 진동모드들 간의 연관성이 존재하고, 이들의 상호작용은 분산곡선을 통해 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 또한 단순히 많은 진동모드들을 사용하는 것이 효율적이지 않음을 확인하였고, 이러한 결과⁹⁾를 바탕으로 최소한의 진동모드 선택을 통한 최적화된 빔 모델을 소개하고자 한다.

DVABS를 사용하여 6개인 자유도 티모센코 빔 모델이후 Fig. 3에 소개된 나머지 진동모드들 4개(1^st 면내 방향 종진동, 2^nd 면내 방향 횡진동와 2^nd 면외 방향 종진동)를 체계적으로 추가하여 빔 모델의 분산곡선을 계산하였고, Fig. 5에서 파란색 실선으로 가시화하였다.

Fig. 5

Dispersion curves for Solid C-S (2)

본 그래프에서 최적화된 빔 모델의 분산곡선은 차단 주파수 근처 장파장 저주파 영역뿐만 아니라 모든 영역에서 3차원 FEM의 결과와 비교해 높은 정확성을 확인할 수 있었다. 이는 가로-전단 변형을 나타내는 진동분기(1st 면외 방향 횡진동)가 이 모드형상의 다음 순번에 해당하는 고주파 진동분기(2^nd 면내 방향 횡진동)이 추가됨으로서 발생되어지는 모드형상 간의 상호작용에 의해 보정되고, 2^nd 면외 방향 종진동분기가 추가됨에 따른 상호작용에 의해 1^st 면내 방향 종진동분기의 보정에 의한 결과이다. 따라서 최적화된 10개 자유도 빔 모델은 장파장 영역뿐만 아니라 단파장의 영역까지 광범위한 진동영역에서 빔의 동적 거동을 효율적이고 정확한 해석할 수 있는 빔 해석모델이라고 할 수 있다.