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본 연구에서 고안한 비행하는 소화장치를 Fig. 1에 나타내었다. 앞서 설명한 것과 같이, 장치의 기본 구성은 펌프, 호스 및 소화수를 분사하는 비행체로 이루어진다. 펌프로부터 호스를 통해 소화수를 포함한 조절수가 공급된다. 비행체 운동은 4개의 노즐로 분사되는 분사량을 제어하여 조종된다. 화재진압을 위한 소화수 분사방법은 다양하게 고려할 수 있다. 예를 들어 비행 시작 단계부터 일정한 양을 분사함으로써 반발력을 억제하는 방법과 필요 시에 분사하는 방법도 고려할 수 있다. 그러나 본 연구에서는 일반성을 고려하여 실제 소화작업 시작 시점에 분사하는 경우를 고려한다.

Fig. 1 
Design of the water-powered tethered drone and coordinates system definition

장치 모델링을 위해 Fig. 1에 나타낸 것과 같이 좌표계를 정리한다. 즉, XYZ는 지구고정좌표계, X_bY_bZ_b는 물체고정좌표계를 나타낸다.

그리고 호스를 통해 이동하는 공급수의 유량변화는 충분히 작다고 가정한다. 헤밀턴의 정리로부터 공급수 호스에 대한 지배방정식은 다음 식으로 구해진다.^13,14)

이때의 경계조건은

이고, Xs,t=Xs,t   Ys,t   Zs,tT는 시각 t, 좌표 s에서의 호스 element를 의미한다. 따라서, X(0,t)는 펌프 토출구, 즉 호스 시작점, X(L,t)는 호스 끝단, 즉 비행체와 연결되는 위치를 의미한다.^15,16)(L은 호스 길이)

위 식 (2)에서, *˙는 시간 미분, *′은 좌표 s에 대한 미분을 의미한다. 또한

• m˙ht: 호스를 통해 흐르는 물의 질량유량
• ρ : 밀도
• p_h: 호스 종단압력
• A_h: 호스 내부 단면적
• m_p : 단위 길이당 호스 질량
• μ_p : 호스가 갖는 댐핑계수 행렬
• EI : 호스 휨강성
• F_p(t), τ_p(t) : 호스에 작용하는 외력 및 토크
• F₀(t) : 펌프 토출구에서의 호스 holding force
• F_r(t) : 주위와의 상호작용력

한편, 비행체 본체 내를 흐르는 유체의 모멘트 변화로 발생하는 힘 F_hb(t)와 토크 τ_hb(t)는 다음과 같이 계산된다.¹⁷⁾

여기서, 하첨자 ‘b’는 물체고정좌표계가 기준좌표라는 것을 의미한다. 또한

• m˙i : 각 노즐 유량
• A_i : 노즐 유출구 단면적
• n_i(t), r_i(t) : 노즐 끝단에서의 법선, 위치 벡터

본 연구에서는, 노즐 간의 고저차 및 손실계수 등은 무시하며, 각 노즐로 분사되는 유량 차이는 없다고 가정한다. 그래서 노즐각도 조절로 비행체의 방향과 위치가 변한다고 하면 위에 설명한 내용은 다음 식들의 관계로 정리할 수 있다.

여기서, λiλmin<λi<λmax는 각 노즐의 회전량, Rλi0는 이에 대한 변환행렬을 나타낸다. n^i0는 i번째 노즐이 회전하지 않은 초기 상태에서, 토출구 끝단에서 만들어지는 법선벡터, 이에 대해 n^iλi는 λ_i 만큼 회전한 상태에서의 법선벡터이다. ri0는 노즐 회전중심의 위치벡터이고, d는 회전중심에서 토출구 끝단까지의 거리를 나타낸다.

제어대상에 대한 강체역학, 식 (2)로 주어진 경계조건, 노즐 회전운동에서의 근사화 등을 기반으로하면, 호스 천이 X(L,t), 비행체 회전 φ(t)로부터 다음 식이 구해진다.

이때,

식 (5)와 식 (6)에서, l0 w0 h0T=rlb0, σ는 수직축과 노즐 간의 예각, REb는 고정좌표에서 기준좌표계로의 변환행렬, R_Euler는 각속도를 오일러 각속도로 나타내기 위한 변환행렬이다. 그리고 d_X(t), d_φ(t)에는 외란이나 고차항 등 정형화하기 힘든 기타 특성이 모두 포함되어 있다고 보면 된다.

앞서 기술하였듯이, 공급수가 흐르는 호스는 요동현상이 없는 안정적인 상태가 유지된다고 가정한다. 이럴 경우, 호스에 연결된 결과로 비행체 운동에 미치는 영향 EI⋅X′′′L,t, EI⋅X′′ L,t는 유한한 값을 가지게 되고, 이것을 외란으로 간주한다. 이것으로부터 비행체 운동에 대한 상태공간표현은 다음 식으로 표현할 수 있다.

여기서, 상태벡터, 입력벡터 및 출력벡터는 각각 다음 식과 같다.

여기서, Z₀는 비행체 목표고도, m˙h0는 목표 고도를 유지하기 위해 필요한 유량이다. 따라서, 선형화는 Z0, m˙ho를 평형점으로 실시하였다. 식 (5)의 운동방정식에 대해 리아푸노프 선형화 정리를 적용하면 식 (7)의 행렬식은 다음과 같이 정리된다.

여기서,

이고, 앞에서 설명한 것과 같이 비선형특성 및 외란은 행렬 D(t)에 포함되어 있다.

제어기 설계의 목적은, 비행체가 화재발생지점까지 신속하고 정확하게 이동하고, 소화수를 안정적으로 분사하도록 하는 것이다. 목표로 하는 출력, 즉, 목표로 하는 고도, 위치 및 비행체 선회각도를 Y_d(t)라 두면, 다음의 서보계를 안정화하는 것으로 위에 제어기 설계목표를 달성하게 된다.

여기서,

결과적으로 다음식의 상태피드백 제어계를 설계하면 된다.(Fig. 2 참조)

Fig. 2 
Schematic drawing of the proposed control system

여기서, K(f), K(g)는 LMI 기법을 이용하여 체계적으로 최적의 조건을 만족하는 이득을 구할 수 있다. 이것은 다음의 선형행렬부등식의 해를 구하면 된다.

이때, Us=m˙hc-m˙h00i×404×1λmaxI4 이고, m˙hc는 불안정한 호스 요동이 일어나지 않도록 하는 임계유속, λ_max는 노즐의 최대 회전각을 나타낸다. 이러한 조건으로부터 위 식 (14)의 선형행렬부득식의 해를 구하면 제어기의 이득은 다음과 같이 계산된다.

이것으로부터, 식 (14)가 bounded real lemma 라는 것을 알 수 있으며, 이것은 제어계가 다음의 H_∞ 놈 조건을 만족하는 것과 등가이다.¹⁸⁾

또한 식 (15)의 부등식은 다음과 같이 주어지는 제어입력에 대한 제약조건을 만족한다는 것을 의미한다.¹⁸⁾

결론적으로, (17) 및 (18)의 부등식이 성립하면, 설계된 제어계의 로버스트성 및 제어입력에 대한 제약조건이 자동적으로 보장된다는 것을 의미한다.¹⁹⁾