유한요소-전달강성계수법을 이용한 다양한 형상을 갖는 축대칭 셸의 정적해석

2.1 모델링

이 연구에서는 Fig. 1과 같은 원통, 원추, 반구형 셸이 조립된 축대칭 셸 구조물을 Fig. 2와 같은 절두 원추요소(truncated cone element)의 직렬 결합으로 고려한다. Fig. 1과 같이 축대칭 셸 구조물 전체를 n개의 절두 원추요소로 분할할 경우, 원추요소의 좌우측에는 분할 원이 존재하는데, 이 원을 링 절점(ring node) 혹은 간략히 절점(node)이라 하고, 좌단에서 우단으로 총 n+1개의 절점을 순차적으로 절점 1, 절점 2, ⋯, 절점 n+1로 부른다. 각 절점은 원추요소의 자오선(xⁱ축)방향과 이에 수직인 법선(yⁱ축)방향 그리고 회전(θ)방향의 3자유도를 갖는다. 한편, 원추요소는 셸의 자오선방향으로 직선이므로 곡선 셸을 모델링할 경우 분할수를 증가할수록 해석 결과가 정확해진다.

Fig. 1

Axisymmetric shell structure

Fig. 2

Truncated cone element

구조물이 탄성지지 된 경우, 기초와 절점 사이에 3개의 기초지지 스프링을 삽입하고, 스프링상수 값을 통해 모델링한다. 구조물 좌우단의 경계조건은 절점 1과 절점 n+1의 기초지지 스프링을 통해 모델링한다. 절점에는 하중 또는 모멘트가 직접 작용할 수 있고, 원추요소에 작용하는 압력을 통해 외력을 정의할 수 있다.

유한요소해석을 통해 Fig. 2와 같은 i번째 축대칭 절두 원추요소의 강성행렬은

와 같고, i번째 원추요소에 작용하는 압력의 등가절점하중은 다음 식과 같다(부록 참고).³⁾

2.2 강성계수행렬 및 힘보정벡터의 전달

절점 i의 좌측과 우측에서 힘벡터와 변위벡터사이의 관계를 식 (3)과 (4)로 각각 정의한다.

Fig. 3처럼 원추요소 i가 원추요소 i-1보다 β_i만큼 반시계 방향으로 기울어져 있으면

Fig. 3

Coordinate system

가 되고, 여기서 좌표변환행렬

이고, 다음과 같은 성질을 갖는다.

식 (4), (5), (7)로부터 다음 식과 같은 강성계수행렬 및 힘보정벡터의 좌표 변환식을 유도할 수 있다.

기초지지 스프링을 갖는 절점 i에 집중하중이나 압력에 의한 등가집중하중이 작용할 경우, 절점 i에서 힘의 평형식은

가 되고, 여기서

식 (3), (4), (9)로부터 절점 i 좌우측의 강성계수행렬 및 힘보정벡터 사이의 관계(포인트 전달식)를 구하면 다음과 같다.

일반적으로 유한요소법에서 사용하는 힘벡터의 정방향과 전달강성계수법에서 사용하는 힘벡터의 정방향이 다르므로, 식 (1)을 변형하면 다음과 같다.

식 (3), (4), (12)로부터 원추요소 i 좌우측의 강성계수행렬 및 힘보정벡터 사이의 관계(필드 전달식)를 구하면 다음과 같다.

여기서

2.3 절점 변위 및 힘벡터 계산

구조물의 좌단에 해당하는 절점 1에는 기초지지 스프링이 존재할 수 있으나 절점 1의 좌측에 원추 요소는 존재하지 않는다. 따라서

을 구하고, 필드 전달식인 식 (13)으로부터 $$ {\overline{\mathbf{S}}}_2^1$$와 $$ {\overline{\mathbf{e}}}_2^1$$를 구하고, 좌표 변환식인 식 (8)로부터 $$ {\overline{\mathbf{S}}}_2^2$$와 $$ {\overline{\mathbf{e}}}_2^2$$를 구한다. 그리고 포인트 전달식인 식 (11)로부터 $$ {\tilde{\mathbf{S}}}_2^2$$와 $$ {\tilde{\mathbf{e}}}_2^2$$를 구할 수 있다. 반복적으로 상기 좌표 변환식과 포인트 전달식 그리고 필드 전달식을 적용하면 최종적으로 마지막 절점인 절점 n+1 우측의 $$ {\tilde{\mathbf{S}}}_{n+1}^n$$와 $$ {\tilde{\mathbf{e}}}_{n+1}^n$$도 유도할 수 있다.

우단의 경계조건도 스프링으로 모델링하였으므로 마지막 절점인 절점 n+1의 우측은 자유단으로 고려할 수 있고, 그 결과 $$ {\tilde{\mathbf{f}}}_{n+1}^n$$은 영벡터가 된다. 따라서 식 (4)로부터

가 된다. 식 (3), (4), (12)로부터 식 (17)을 유도할 수 있는데, 이 식은 원추요소 좌우측의 변위벡터 사이의 관계식이다.

따라서 식 (16)으로 마지막 절점의 변위벡터를 구한 후, 식 (17)과 식 (5)를 반복적으로 적용하면 모든 절점의 변위벡터를 구할 수 있다. 절점 좌우측의 힘벡터는 절점의 변위벡터를 이용하여 식 (3), (4)로부터 구할 수 있다.

3.1 균일한 분포하중을 받는 원형 돔

Fig. 4에 나타낸 첫 번째 계산모델은 중심각이 70°인 원형 돔(dome)이고, 상부에 균일한 분포하중을 받고 있으며 경계조건은 고정이다. 돔의 반경은 2.286 m, 두께는 7.62 cm, 탄성계수는 20.68 GPa, 푸아송비는 1/6, 분포하중은 6.894 kPa이다.

Fig. 4

Spherical shell cap

계산모델은 돔의 중앙부를 기준으로 좌우 대칭이므로 10개의 축대칭 원추요소로 모델링하였고, 돔의 중앙부를 절점 1, 고정점을 절점 11로 한다. 계산모델의 대칭성을 고려하여 절점 1의 변위 $$ w_1^o$$와 각변위 θ₁을 추가로 구속하여 계산하였다.

유한요소-전달강성계수법으로 각 절점의 변위를 계산한 결과가 Table 1이다. 유한요소법에 근거하여 작성된 Ross³⁾의 전산 프로그램으로 동일 모델에 대하여 계산한 결과가 Table 2이다. 양 방법에 의한 계산 결과는 아주 잘 일치하였다.

Table 1

Nodal displacements of dome by FE-TSCM

Table 2

Nodal displacements of dome by FEM

Table 3은 돔의 9번째와 10번째 요소 내외부의 자오선방향 응력을 유한요소-전달강성계수법과 유한요소법으로 계산한 결과이고, Table 4는 원주방향 응력(hoop stress)을 계산한 결과이다. 양 방법의 결과가 아주 잘 일치하였다.

Table 3

Meridional stresses in dome (kPa)

Table 4

Hoop stresses in dome (kPa)

3.2 원통-원추형 결합 셸 형태의 물탱크

Fig. 5에 나타낸 두 번째 계산모델은 내경 5 m, 높이 10 m의 원통형 셸과 높이 5 m의 원추형 셸이 결합된 구조물이고, 내부에는 10 m 높이의 물이 저장된 물탱크이다. 경계조건은 구조물의 하부가 고정이고, 셸의 두께는 1 cm, 탄성계수는 200 GPa, 푸아송비는 0.3이다.

Fig. 5

Water tank

저장된 물의 정수압을 하중으로 고려하고, 원통형 셸은 10개, 원추형 셸은 5개의 축대칭 원추요소로 모델링한다. 절점 1은 물탱크의 가장 하부에 해당되고, 절점 11은 원통형 셸과 원추형 셸의 결합부 그리고 절점 16은 가장 상부에 해당된다. 대칭성을 고려하여 절점 16의 변위 $$ w_{16}^o$$와 각변위 θ₁₆을 추가로 구속하여 계산하였다.

유한요소-전달강성계수법으로 홀수 절점의 변위를 계산한 결과를 Table 5에 나타내었다. 유한요소법에 근거하여 작성된 Ross³⁾의 전산 프로그램으로 동일 모델에 대하여 계산한 결과를 Table 6에 나타내었다. 양 방법의 계산 결과를 비교해 보면 대체로 잘 일치하고 있음을 알 수 있었다.

Table 5

Odd number nodal displacements of water tank by FE-TSCM

Table 6

Odd number nodal displacements of water tank by FEM

Fig. 6은 계산 결과인 각 절점의 변위와 구조물의 대칭성을 이용하여 3차원 형태로 나타낸 물탱크의 변형된 형상이다. 변형 결과를 확연히 보여주기 위해 각 절점의 변위를 1,000배 확대하였고, 색상과 격자는 3차원 형상을 명확히 표현하기 위해 제공된 것 외에는 특별한 의미가 없다.

Fig. 6

Deformed shape of water tank

3.3 내압을 받는 압력 용기

Fig. 7에 나타낸 세 번째 계산모델은 좌우에 2개의 반구형 셸과 2개의 원통형 셸 그리고 하나의 원추형 셸이 결합된 구조물로서 내부에서 일정한 압력을 받는 압력용기이다. 이 계산모델의 전체 길이는 5.6 m, 두께는 1 cm, 탄성계수는 210 GPa, 푸아송비는 0.3이다. 경계조건은 좌단이 고정이고, 내부 게이지 압력은 1 MPa이다.

Fig. 7

Pressure vessel with internal pressure

좌측부터 반구형 셸은 10개, 첫 번째 원통형 셸은 20개, 원추형 셸은 10개, 두 번째 원통형 셸은 10개, 마지막 반구형 셸은 6개, 따라서 총 56개의 축대칭 원추요소로 모델링한다. 절점 1은 압력용기의 좌단에 해당되고, 절점 57은 우단에 해당된다. 대칭성을 고려하여 절점 57의 변위 $$ w_{57}^o$$와 각변위 θ₅₇을 추가로 구속하여 계산하였다.

유한요소-전달강성계수법으로 주요 절점의 변위를 계산한 결과를 Table 7에 나타내었다. 유한요소법에 근거하여 작성된 Ross³⁾의 전산 프로그램으로 동일 모델에 대하여 계산한 결과를 Table 8에 나타내었다. 양 방법의 계산 결과를 비교해 보면 아주 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.

Table 7

Nodal displacements of pressure vessel by FE-TSCM

Table 8

Nodal displacements of pressure vessel by FEM

Fig. 8은 계산 결과로부터 나타낸 압력용기의 변형된 형상이다. 변형 결과를 확연히 보여 주기 위해 각 절점의 변위를 500배 확대하였고, 색상과 격자는 3차원 형상을 명확히 표현하기 위해 제공된 것 외에는 특별한 의미가 없다.

Fig. 8

Deformed shape of pressure vessel