근사모델을 이용한 강건최적설계의 자동차부품 적용 사례

1. 서 론

자동차부품 개발 시 성능 향상, 개발비 절감 등의 이유로 CAE를 적용하는 것이 일반화되어 있다. 특히 자동차의 차체 및 섀시의 구조 부품인 경우에는 더욱 그러하며 최적화의 적용도 활발하다. 최근에는 하드웨어와 상용프로그램의 발전으로 인해 각 부품의 수치 모델의 자유도가 수십만 개에서 수백만 개가 되는 것을 흔히 볼 수 있으며, 복잡한 형상을 설계변수로 선정하여 최적화하는 사례도 많이 있다. 이 과정에서 메타모델을 이용하여 근사모델을 생성하고 최적화를 수행하는 방법들이 많이 채택되고 있다. 메타모델을 생성하는 방법으로는 반응표면법(response surface method), 크리깅(kriging), 뉴럴네트워크(neural network) 등의 기법들이 많이 사용된다.

본 연구에서는 최적화의 대상이 되는 컨트롤암과 볼조인트는 A사에서 개발 중이었던 제품들이다.¹⁾ 컨트롤암의 양단은 차체프레임 및 너클과 연결되어 피봇 역할을 하게 하며 승차감과 차량 조종 안정성에 영향을 미친다.^1-3) 본 연구 대상인 컨트롤암의 재료는 알루미늄이며 단조 공법으로 제작이 된다. 이때 검토되는 구조적 성능은 정강도 해석 시 등가소성변형률이다. 컨트롤암의 최적화 문제는 컨트롤암의 경량화 설계를 위해서 중량을 최소화하면서 등가소성변형률이 허용값 이내가 되도록 하는 것으로 정의될 수 있다.

볼조인트는 컨트롤암과 너클의 연결 부위에 설치되어 회전을 원활하게 하며 스터드, 플러그, 소켓 및 시트로 구성이 된다.^1,4-6) 볼조인트 개발 시 가장 중요하게 고려되는 구조적 성능은 풀아웃(pull-out) 강도이다. 풀아웃 강도는 볼조인트의 스터드에 길이 방향으로 하중을 작용시킬 때 스터드가 조립체로부터 이탈이 되게 하는 경계 하중을 의미한다. 즉 볼조인트는 풀아웃 강도의 허용 하중 이내에서 이탈이 안되도록 설계가 되어야 한다. 볼조인트의 최적화는 풀아웃 강도를 설계요구조건으로 고려하였다.

컨트롤암 및 볼조인트의 최적화에 대한 연구는 그동안 많이 진행되어 왔다.^1,2,4-6) 그러나 기존의 연구들은 수치해석 및 최적화 과정에서 존재하는 불확실성을 고려하지 않고 최적화된 성능을 결정론적 값으로 제시하였다. 불확실성이란 다구찌법에서 정의한 잡음(noise)에 해당하는 것으로서 부품이 갖고 있는 제작오차와 재료 물성치의 변동이 예가 될 수 있다. 단 기존의 연구 (5), (6)에서는 다구찌법이나 사례연구를 통하여 이들을 고려하고 결과를 분포로써 제시하고 있지만 산출된 최적해는 한정된 후보군 중에서 선정된 것이다.

본 연구에서는 메타모델 기법 중 크리깅을 이용하고 이 근사모델을 기초로 하여 통계량을 이계미분까지 전개한 강건최적설계^1,7,8)를 위한 정식화를 정의하였다. 기존의 연구^7,8)에 의하면 비선형성이 크거나 강건설계를 위해서는 크리깅 모델의 신뢰도가 높다고 알려져 있다.

강건최적설계는 설계문제의 성격에 따라 결정론적 최적화에 포함된 반응치의 분포를 평균과 분산으로 표현함으로써 정의할 수 있다. 이 과정에서 이계미분을 이용한 통계량의 근사화는 근사모델의 신뢰도가 보장이 될 경우 강건설계의 해도 합리적으로 산출하게 한다.

컨트롤암과 볼조인트는 제작공차를 가지고 있으므로 이를 잡음으로 고려할 수 있다. 그러나 복잡한 형상을 가지고 있는 부품의 특성상 이를 모두 고려하기는 불가능하여 설계변수 만의 제작공차를 잡음으로 고려하였고 이 외의 형상에 대한 잡음은 없다고 가정하였다. 또한 컨트롤암의 경우 결정론적 해석에서는 재료의 특성이 일정하다고 가정하지만 실제로는 각 제품마다 변동을 가지고 있다. 재료 특성 중 항복강도의 변동이 등가소성변형률에 유의미한 변동을 유발하여 이를 잡음으로 고려하였다. 강건최적설계 모듈은 Matlab으로 코딩을 하였으며 크리깅 근사모델 생성은 Lophaven 등⁹⁾이 공개한 Matlab 툴박스를 이용하였다.

2. 강건최적설계를 위한 근사모델 및 검증

2.1 강건설계를 위한 정식화

단일 목적함수와 m 개의 제약조건을 갖는 결정론적 최적화 문제는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\[ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}Minimize \hfill & f\left(\mathit{b}\right)\hfill \end{array}\hfill \\ \begin{array}{cc}Subject to\hfill & g_j\hfill \end{array}\left(\mathit{b}\right),j=1,\dots ,m\hfill \end{array} \]$

(1)

여기서 f는 목적함수, g_j는 제약조건함수, b는 설계변수 벡터를 의미한다.

식 (1)에서 설계파라미터 벡터 b´, 설계변수 b에 대한 잡음 z^b, 설계파라미터 b‘에 대한 잡음 z^b’을 고려하면 식 (1)은 다음과 같이 수정될 수 있다.^1,7,8)

$\[ \begin{array}{l}Minimize\\ Subject to\end{array}\begin{array}{l}\left[{\left({\mu }_f-m_f\right)}^2,{\sigma }_f^2\right]\\ g_j\left(\mathit{b}+{\mathit{z}}^b,{\mathit{b}}^{\text{'}}+{\mathit{z}}^{b^{\text{'}}}\right)\le 0,j=1,\dots ,m\\ {\mu }_f=E\left[f\left(\mathit{b}+{\mathit{z}}^b,{\mathit{b}}^{\text{'}}+{\mathit{z}}^{b^{\text{'}}}\right)\right]\\ {\sigma }_f^2=E{\left[f\left(\mathit{b}+{\mathit{z}}^b,{\mathit{b}}^{\text{'}}+{\mathit{z}}^{b^{\text{'}}}\right)-{\mu }_f\right]}^2\\ {\mathit{b}}_L\le \mathit{b}\le {\mathit{b}}_U\end{array} \]$

(2)

여기서 μ_f, $$ {\sigma }_f^2$$는 f의 평균 및 분산을 b_f, b_U는 각각 설계변수의 하한값 및 상한값 벡터를 의미한다. 식 (2)에서 수정된 목적함수는 식 (1)에서 원래의 단일 목적함수가 다중 목적함수로 치환이 된 것이다. 즉, 강건설계에서는 성능특성치가 목표값에 근접하면서 분포가 최소가 되도록 하는 설계변수를 찾는 문제로 귀결될 수 있다. 식 (2)의 다중 목적함수는 다구찌법에서 신호 대 잡음비인 SN 비로 대치된다. 그러나 설계 문제의 특성에 따라 식 (2)의 정식화는 다른 형태의 함수들로 변경시킬 수 있다.

원래 목적함수와 제약조건 함수의 통계량을 설계변수의 함수로 표현하는 것은 설계변수가 간단한 명시함수로 표현이 될 경우에는 가능하지만 그렇지 않은 경우는 대부분 불가능하다. 또한 함수의 통계량의 근사값을 구하는 것도 많은 계산 시간이 필요하거나 불가능할 수도 있다. 이를 위하여 본 연구에서는 반응치의 함수를 직접 이용하지 않고 크리깅 모델^{1,7,8,10,11,12)}을 이용하였다.

반응치 함수 h(x)에 대한 크리깅 모델은 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\[ \widehat{h\left(\mathit{x}\right)}=\widehat{\beta }+{\mathit{r}}^T\left(\mathit{x}\right){\mathit{R}}^{-1}\left(\mathit{h}-\widehat{\beta }\mathit{i}\right) \]$

(3)

여기서 ^은 추정치를 의미하며 x=[b b’], r은 상관벡터, R은 상관행렬, β는 상수, i는 단위행렬이다. 상관행렬 R 및 상관벡터 r은 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\[ \begin{array}{c}R\left(x^i,x^j\right)=\exp \left[-\sum _{k=1}^n{\theta }_k{\left|x_k^i-x_k^j\right|}^2\right]\\ i=1,\dots s, j=1,\dots ,s\\ \mathit{r}\left(\mathit{x}\right)={\left[R\left(\mathit{x},{\mathit{x}}^1\right),R\left(\mathit{x},{\mathit{x}}^2\right),R\left(\mathit{x},{\mathit{x}}^s\right)\right]}^T\end{array} \]$

(4)

여기서 s는 표본점의 수이다. 즉 식 (1)에 포함된 반응치는 식 (4)를 이용하여 대치시킬 수 있다. 그 다음 식 (2)에서 각 함수의 평균 및 분산은 식 (4)를 기초로 다음과 같이 전개할 수 있다.^1,7,8,12)

$\[ \begin{array}{l}\widehat{{\mu }_h}\approx {\widehat{h\left(\mathit{x}\right)}}_{{\mathit{x}}_0}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{{\partial }^2\widehat{h}}{\partial x_k^2}\right)}_{{\mathit{x}}_0}•{\sigma }_{x_i}^2\\ \widehat{{\sigma }_h^2}\approx \sum _{k=1}^n{\left(\frac{\partial \widehat{h}}{\partial x_k}\right)}_{{\mathit{x}}_0}^2•{\sigma }_{x_i}^2\\ +\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n{\left(\frac{{\partial }^2\widehat{h}}{\partial x_k\partial x_l}\right)}_{{\mathit{x}}_0}^2•\left({\sigma }_{x_k}^2\right)\left({\sigma }_{x_l}^2\right)\end{array} \]$

(5)

여기서 x₀는 특정 설계점을 의미한다.

식 (5)에 포함된 1계 미분 및 2계 미분은 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}\frac{\partial \widehat{h}}{\partial x_k}=\frac{\partial {\mathit{r}}^T}{\partial x_k}{\mathit{R}}^{-1}\left(h-\widehat{\beta }\mathit{i}\right)\\ where\\ \frac{\partial {\mathit{r}}^T}{\partial x_k}=\left[-2{\theta }_k\left(x_k-x_k^1\right)Z^1,\dots ,-2{\theta }_k\left(x_k-x_k^s\right)Z^s\right]\\ Z^l=\exp \left[{-\theta }_1{\left(x_1-x_1^l\right)}^2,\dots ,-{\theta }_n{\left(x_n-x_n^l\right)}^2\right],\\ l=1,\dots ,s\end{array} \]$

(6)

$\[ \begin{array}{c}\frac{{\partial }^2\widehat{h}}{\partial x_k\partial x_l}=\frac{{\partial }^2{\mathit{r}}^T}{\partial x_k\partial x_l}{\mathit{R}}^{-1}\left(\mathit{h}-\widehat{\beta }\mathit{i}\right)\hfill \\ where\hfill \\ \frac{{\partial }^2\mathit{r}}{\partial x_k^2}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}-2{\theta }_k{Z}^1\left(1-2{\theta }_k{\left(x_k-x_k^1\right)}^2\right)\\ \cdots \end{array}\\ -2{\theta }_k{Z}^s\left(1-2{\theta }_k{\left(x_k-x_k^s\right)}^2\right)\end{array}\right],\frac{{\partial }^2\mathit{r}}{\partial x_k\partial x_l}=\hfill \\ \left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}\left(-2{\theta }_k\left(x_k-x_k^1\right)\right)\left(-2{\theta }_l\left(x_l-x_l^1\right)\right)Z^1\\ \cdots \end{array}\\ \left(-2{\theta }_k\left(x_k-x_k^s\right)\right)\left(-2{\theta }_l\left(x_l-x_l\right.\right.\end{array}\right.\hfill \end{array} \]$

(7)

강건최적화를 위한 전반적인 순서도를 Fig. 1에 표시하였다. 표본점 수는 설계변수의 수, 설계변수의 범위, 설계 문제에 포함된 함수의 비선형성 정도, 해석 시간 등에 따라 경험적으로 결정된다. 본 연구에서의 표본점 수는 기존 연구^7,8)의 예제에서 제시된 표본점 수를 고려하여 수학적 문제에서는 50개, 컨트롤암 문제에서는 40개, 볼조인트 문제에서는 25개로 설정하였다.

Fig. 1

Flowchart for robust optimization

2.2 수치예제를 통한 검증

본 장에서는 식 (8), (9)와 같이 설계변수가 각각 3개, 2개인 수치 예제를 통해 Fig. 1에서 제시한 강건최적화 과정을 검증하였다.¹⁾

$\[ h\left(\mathit{b}\right)=10b_1^3+b_1^4{b}_2^3+b_3 \]$

(8)

$\[ \begin{array}{c}h\left(\mathit{b}\right)=2+0.01{\left(b_2-b_1^2\right)}^2+{\left(1-b_1\right)}^2\hfill \\ +2{\left(2-b_2\right)}^2+7\sin \left(0.5b_1\right)\cdot \sin \left(0.7b_1{b}_2\right)\end{array} \]$

(9)

두 문제에서 설계변수 b_i의 범위, 공차 Δb_i, 공차와 표준편차와 σ_bi의 관계는 동일하며 식 (10)과 같이 가정하였다. 즉 설계변수의 분포는 정규분포를 따르고 설계변수의 공차 이내에 설계변수의 99.7%가 포함된다고 가정한 것이다.^1,8)

$\[ \begin{array}{c}0\le b_i\le 3\hfill \\ {\sigma }_{b_i}=∆b_i/6,∆b_i=0.15\hfill \end{array} \]$

(10)

식 (8)의 함수를 대치시키기 위하여 50개의 표본점을 Matlab에 내장되어 있는 라틴하이퍼큐브 생성 명령어 lhsdesign을 이용하였다. 크리깅 근사모델을 이용하여 함수의 근사모델을 구한 후, 이 함수의 평균과 표준편차에 대한 통계량을 임의의 설계점 5개에 대하여 비교하였다. 이를 Table 1에 정리하였다. 임의의 설계점 5개에 대하여 해석값과 근사값이 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 이는 근사함수를 생성하기 위한 표본점 개수 s에 영향을 받으며, 이 값이 크면 클수록 통계량도 정확히 산출되지만 함수계산 횟수가 많아지는 단점이 있다.

Table 1

Comparison of statistics for Eq. (8)

두 번째 문제는 식 (9)의 함수를 갖고 식 (11)~(13)의 강건설계를 위한 정식화를 가정하였다.^1,8)

$\[ Minimiz \widehat{{\sigma }_h} \]$

(11)

$\[ \begin{array}{c}Minimiz \widehat{{\sigma }_h}\hfill \\ Subject to {\widehat{P}}_s=1.0 \left(LB=-\infty , UB=2.5\right)\hfill \end{array} \]$

(12)

$\[ \begin{array}{c}Minimiz \widehat{{\sigma }_h}\hfill \\ Subject to {\widehat{P}}_s=1.0 \left(LB=-\infty , UB=3.0\right)\hfill \end{array} \]$

(13)

여기서 Ps는 설계성공확률로서 다음과 같이 정의된다.^1,8)

$\[ P_s={\int }_{LB}^{UB}\frac{1}{{\sigma }_h\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(h-{\mu }_h\right)}^2}{2{\sigma }_h^2}}dh \]$

(14)

식 (11)~(13)의 강건최적화 문제를 Fig. 1에 제시한 과정을 통해 강건해를 산출하였으며, 이를 Table 2에 정리하였다. 또한 해석적인 통계량과 근사모델을 이용한 통계량을 비교하였다. 앞의 예제와 마찬가지로 근사 통계량이 해석적 통계량에 근접해 있음을 알 수 있다. 식 (9)만을 최소화시키는 결정론적 최적해는 3개의 국부최적해가 존재한다. 그 최적해에서의 통계량은 각각 [h₁^* μ₁^* σ₁*]=[2.866 2.872 0.004], [h₂* μ₂* σ₂*]=[5.935 5.931 0.007], [h₃* μ₃* σ₃*]=[-1.456 –1.441 0.020]이다.

Table 2

Robust optimum of Eqs. (11)~(13)

식 (11)의 최적화 문제에서는 표준편차만을 최소화하는 경우로서, 강건해는 결정론적 최적해 중 표준편차가 최소가 되는 설계점이 강건해로 산출되어야 한다. 이는 Table 2에서 볼 수 있듯이 첫 번째 강건해는 결정론적 최적해에 근접해 있다. 그러나 식 (12)의 최적화 문제에서는 강건해에서의 함수값이 상한값인 2.5를 넘으면 안되기 때문에 결정론적 해와는 다른 점이 최적해로 산출되었다. 반면에 식 (13)의 최적화 문제에서는 강건해에서의 함수값이 3.0을 넘으면 안되므로 Table 2의 세 번째 강건해는 첫 번째 결정론적 최적해에 근접해 있다.

3. 컨트롤암의 강건최적화

3.1 초기설계 및 강성해석

본 연구의 대상이 되는 컨트롤암은 승용차의 현가계와 조향계를 연결하는 구조부품으로서 알루미늄 재질로 설계되었으며, 약 2.5~3.0 kg의 중량을 갖고 있다. 개발과정에서 검토해야 하는 구조적 성능으로는 강도, 강성, 좌굴, 내구, 진동 등이 있다. 컨트롤암의 초기설계에서는 구조성능 모두 여유 있게 만족하고 있다. 반면에 등가소성변형률 ε_p에 대한 안전율이 상대적으로 작아 이를 고려하여 최적화를 진행하였다.¹⁾

컨트롤암 개발단계에서의 초기 모델을 Fig. 2에 표시하였다. 경계조건은 Fig. 2에서와 같이 조향계와 연결되는 지점에 부여하였으며, 하중은 현가계와 연결되는 지점에 작용하였다. 그 크기는 70 kN(Fx=58.60 kN, Fy=-38.09 kN, Fz=3.22 kN)이며, 이는 완성차업체 B 사로부터 제공받은 것이다. 초기중량은 2.92 kg이며, 초기해석결과는 등가소성변형률이 0.51%로 산출되어 이는 기준치보다 작으므로 경량화가 가능하다.

Fig. 2

Initial design of a control arm

3.2 설계변수 및 잡음의 선정

컨트롤암의 초기설계에서 중량을 감소하고자 내부에 구멍을 두 개 생성하였으며, 이 모델을 기초로 중량 및 등가소성변형률에 동시에 영향을 미치리라고 예상되는 형상설계변수 후보를 4개 선정하였다. 이를 Fig. 3에 표시하였다. 설계변수 후보 b₁은 컨트롤암 상부 표면의 z축 방향 위치를 결정하며, 설계변수 후보 b₂는 컨트롤암 하부 표면의 z축 방향 위치를 결정한다. 반면에 설계변수 후보 b₁은 컨트롤암 상부 표면의 z축 방향 위치를 결정하며, 설계변수 후보 b₂는 컨트롤암 하부 표면의 z축 방향 위치를 결정한다. 반면에 설계변수 후보 b₃와 b₄는 내부 구멍의 크기를 결정한다. 각 설계변수 후보의 범위는 다음과 같다.

Fig. 3

Candidates of design variables

$\[ \begin{array}{c}29.0mm\le b_1\le 33.5mm\\ 24.0mm\le b_2\le 27.5mm\\ 5.0mm\le b_3\le 20.0mm\\ 5.0mm\le b_4\le 10.0mm\end{array} \]$

(15)

설계변수 후보와 그 영향도를 파악하기 위하여 직교배열표를 이용한 실험계획법을 도입하였다. 식 (15)에서 설계변수 후보의 하한값을 1수준, 상한값을 3수준, 하한값과 상한값의 중간을 2수준으로 설정하고 Table 3과 같이 L₉ 직교배열표¹³⁾를 배치하였다. 9회의 해석을 통해 등가소성변형률과 중량을 구하였으며, 이것을 기초로 분산분석(ANOVA)을 수행하였다. 이것을 Table 4 및 Table 5에 정리하였다. 중량에 대한 영향도는 b₁, b₂, b₃ 순으로 크며, 등가 소성변형률인 경우의 영향도는 b₃, b₁, b₂ 순이다. 유의수준 0.1을 고려하면 중량은 b₁, b₂, b₃가 등가소성변형률은 b₃가 각각 유의함을 알 수 있다. 반면에 b₄는 영향도가 없어 오차항에 풀링시킨 것이다. 이 결과를 기초로 최적화 과정에서 설계변수는 b₄를 제외한 b₁, b₂, b₃로 선정하였다.

Table 3

L9(34) orthogonal array experiment

Table 4

ANOVA for weight

Table 5

ANOVA for equivalent plastic strain

설계과정에서 존재할 수 있는 불확실성은 여러 가지가 있을 수 있지만 본 연구에서는 설계변수로 선정된 변수의 공차와 알루미늄 재료 특성인 항복강도의 변동을 잡음으로 선정하였다. 알루미늄의 항복강도 b₁´=246.35 MPa이다. 즉 식 (2)에서 b=[b₁ b₂ b₃], b´=[b₁´]으로 표시할 수 있다. 각 분포를 정규분포로, 각 변수의 표준편차와 공차는 σ_bi=△b_i/6(i=1~3), σ_b1´=△b₁´/6의 관계를, 공차는 △b_i=0.15 mm(i=1~3), △b₁´=40 MPa이라고 가정한다.

3.3 강건최적화 수행

중량을 최소화시키면서 등가소성변형률이 제한치 이하가 되도록 하는 강건설계를 위한 정식화는 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\[ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}Minimize \hfill & \widehat{{\mu }_w}\hfill \end{array}\hfill \\ \begin{array}{cc}Subject to\hfill & \widehat{{\mu }_{{ϵ}_p}}+3\widehat{{\sigma }_{{ϵ}_p}}\le {ϵ}_{pa}\end{array}\hfill \\ \begin{array}{cc}& 29.0mm\le b_1\le 33.5mm\end{array}\\ \begin{array}{cc}& 24.0mm\le b_2\le 27.5mm\end{array}\\ \begin{array}{cc}& 5.0mm\le b_3\le 20.0mm\end{array}\end{array} \]$

(16)

여기서 ^는 근사모델로부터 구해진 추정치를 의미하며 ε_pa는 허용값으로 2.0이다. 식 (16)에서 중량의 평균 및 등가소성변형률의 평균 및 표준편차는 크리깅 근사모델을 구성하고 식 (5)로부터 구해지는 값들을 이용한다. 설계변수의 하한값 및 상한값은 기하형상의 파라미터화 및 제작성 등을 고려하여 설정된 것이다.

먼저 식 (16)의 정식화를 해결하기 위해 매트랩의 lhsdesign 명령어를 이용하여 40개의 표본점을 생성하였다. 각 표본점에 대하여 유한요소해석을 수행하였으며 이로부터 등가소성변형률을 산출하였다. 이것을 Table 6에 정리하였다. 이 값들을 기초로 매트랩 툴박스를 이용하여 크리깅 근사모델을 생성하였다. 여기서 x=[b₁ b₁´]=[x₁ x₂ x₃ x₄]=[b₁ b₂ b₃ b₁´]이다.

Table 6

LHD for kriging model (control arm)

등가소성변형률에 대한 식 (3), (4)에 포함된 크리깅 모델의 파라미터들은 β=0.81, θ₁=0.496, θ₂=0.028, θ₃=0.156, θ₄=0.022이다. 또한 중량에 대한 크리깅 모델의 파라미터들은 β=1.25, θ₁=0.662, θ₂=0.021, θ₃=0.003, θ₄=0.002이다. 강건최적해는 [b₁ b₂ b₃]=[29.682 mm 27.500 mm 5.467 mm]가 산출되었다. 이 값과 각 변수의 공차, 표준편차를 고려하고 Table 7과 같이 20개의 표본점을 생성해서 제약조건을 만족하는지를 확인하였다. 등가소성변형률이 모두 제한치를 초과하지 않고 설계요구조건을 만족하고 있음을 알 수 있다. 최적해에서 등가소성변형률의 평균 및 표준편차는 1.887, 0.0607, 중량의 평균 및 표준편차는 2.569 kg, 0.0036 kg이 산출되었다.

Table 7

Confirmation analyses at optimum (control arm)

4. 볼조인트의 강건최적화

볼조인트 설계 시 검토되는 주요한 구조적 성능으로 풀아웃 강도가 있다. 이는 볼조인트의 길이 방향으로 하중을 작용시켰을 때 볼스터드가 조립체로부터 이탈이 되게 하는 하중 크기를 의미한다. 이 강도가 작을 경우 운행 중 부품이 파손되어 심각한 사고를 유발시킬 수 있다. 본 연구의 대상인 볼조인트는 C 사의 차량에 장착되는 제품으로서, Fig. 4와 같이 볼스터드, 소켓, 플러그 및 베어링 부품으로 구성이 된다.¹⁾

Fig. 4

Parts of a ball joint and definition of design variables

볼조인트의 풀아웃 강도를 위한 해석모델은 볼조인트가 Fig. 4와 같이 축대칭 형상을 하고 있으므로 Abaqus를 이용하여 2차원 유한요소 해석을 수행하였다. 경계조건 및 하중조건은 Fig. 4에서 boundary 2의 자유도를 모두 구속시키고 boundary 1에서 –y 방향으로 15 mm의 변위하중을 작용시켰다. 풀아웃 강도는 변위-반력 곡선을 산출하여 곡선에서 최고점을 풀아웃 강도로 추출한다. 초기설계에서의 풀아웃 강도해석 결과를 Fig. 5에 나타내었다. 풀아웃 강도는 약 70.12 kN의 값으로 산출되었으며 이에 대한 허용값은 45 kN이다.

Fig. 5

Pull-out strength analysis at initial design

4.2 볼조인트의 강건최적화 결과

먼저 풀아웃 강도의 크리깅 생성을 위하여 Matlab의 lhsdesign 명령어를 사용하여 25개의 표본점을 생성한 후, Abaqus 소프트웨어를 이용하여 각 표본점에 대하여 Table 8과 같은 풀아웃 강도를 산출하였다. 풀아웃 강도에 대한 식 (3), (4)에 포함된 크리깅 모델의 파라미터들은 β=-0.036, θ₁=3.535, θ₂=0.525이다. 이 크리깅 근사모델을 이용한 식 (17)의 강건최적해는 b^*=[b₁^* b₂^*]=[18.876 mm 2.259 mm]로 산출이 되었다.

Table 8

LHD for kriging model (ball joint)

산출된 강건해의 검증을 위하여 강건해를 중심으로 3수준으로 설정하고 3²=9회의 Table 9와 같은 전조합실시를 시행하였다. 해석결과 강건해에서의 풀아웃 강도의 평균 및 표준편차는 73.850 kN, 0.660 kN이 산출되었다.

Table 9

Confirmation analyses at optimum (ball joint)

5. 결 론

본 연구에서는 자동차 부품설계 시 구조성능에 영향을 많이 미치는 잡음인자를 고려하기 위하여 강건설계 기법을 도입하였다. 강건설계 기법으로는 크리깅 근사모델에 기초한 통계량을 이계미분까지 포함시킨 후 강건설계를 위한 정식화를 정의하였다. 강건설계를 위한 알고리즘은 Matlab으로 구현되었다. 제안한 방법의 타당성을 검증하기 위하여 두 개의 수학문제에 적용하여 예측된 함수의 평균 및 표준편차가 정해와 잘 일치함을 알 수 있었다.

컨트롤암의 설계에 제시한 강건설계를 도입하여 최적화를 수행하였다. 강건최적해에서 중량은 2.569 kg으로서 초기모델 2.920 kg 대비 약 12%의 중량감소를 가져왔다. 그리고 강건최적해에서는 설계변수의 공차 및 재료특성의 불확실성을 고려해도 등가소성변형률이 2.0% 이하이어야 하는 설계요구조건을 만족시키고 있다. 또한 볼조인트의 사례에서는 주어진 설계영역에서는 풀아웃 강도에 대한 기준을 모두 만족시키고 있다. 또한 본 연구를 통해 산출된 강건최적해에서는 풀아웃 강도가 73.850 kN, 표준편차가 0.660 kN으로서 의 분포가 최소가 되는 해를 제시하고 있다. 자동차부품 개발과정의 설계 단계에서 강건설계기법의 적용으로 구조적 성능 품질을 통계적으로 예측할 수 있었다.

Acknowledgments

본 논문은 중소벤처기업부 지정 기업연계형 연구개발 인력양성사업의 다학제기반 고성능자동차기계부품 설계인력 양성사업단의 지원으로 수행되었음(N036200004).

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