반타원 균열을 갖는 유한판의 하한계응력확대계수의 균열길이 의존성

1. 서 론

지난 수십 년 동안, 매우 짧은 균열을 검출하고 측정하기 위한 노력과 매우 작은 균열 크기에 대한 파괴 역학 방법 사용에 대한 큰 관심은 소위 "짧은 균열" 문제였다.^1,2) 이러한 균열은 긴 균열의 피로 거동에 비교하여 비정상적인 피로 거동을 나타낸다. 즉 응력확대계수 범위 ΔK에 대하여 긴 균열 곡선에 의하여 예측된 것보다 높은 균열 성장 속도 da/dN, ΔK가 증가함에 따라 종종 da/dN 감소, 긴 균열 하한계응력확대계수(ΔK_th)보다 낮은 ΔK에서 균열 성장, 균열 성장률은 재료 미세 구조에 크게 의존함, 응력확대계수 범위의 ΔK_th는 일반적으로 긴 균열에 의하여 결정된다. 그러므로 선형 탄성 파괴 역학(LEFM)에 의하면, 이와 같은 데이터는 균열 크기에 의존하지 않는다.

Frost³⁾는 먼저 짧은 균열 영역에서 LEFM 기반의 ΔK_th의 유효성에 의문을 제기하여, 균열 길이가 감소함에 따라 ΔK_th가 감소함을 보여 주었다. Kitagawa와 Takahashi⁴⁾는 후에 ΔK_th가 긴 균열보다 작은 천이 균열 길이가 존재한다는 것과 균열 길이가 재료 미세 구조에 의존한다는 것을 발견하였다. 균열 길이에 대한 ΔK_th 의존성 (균열 크기효과)은 일반적으로 "Kitagawa diagram"으로 알려진 플롯으로 ΔK_th로 설명한다. Kitagawa diagram을 해석하기 위하여 연구가 수행되었다.^5-10)

본 연구는 피로파괴과정의 소성거동을 비선형문제로 취급하여 유도한 식 (11)을 사용하여, 시험편 치수, 균열 종횡비(As) 및 응력비(R)에 따르는 임의의 균열에 대한 하한계응력확대계수(ΔK_th)의 영향을 평가하였다.

2. 재료 및 평가방법

본 장에서 평가에 사용하는 재료는 초고장력강과 연강이다. 초고장력강의 평활재 피로한도$$ \Delta {\sigma }_w^R$$는 560 MPa(R = 0)과 280 MPa (R = 0.5)이고, 연강은 300 MPa (R = 0)과 150 MPa(R = 0.5)이다. 시험편의 치수는 판폭 2W = 50 mm, 두께 t = 1 mm와 판폭 2W = 10 mm, 두께 t = 3 mm로 두 종류이다. 긴 균열의 하한계응력확대계수($$ \Delta K_{th\left(l\right)}^R$$)는 6.0 MPa$$ \sqrt{m}$$ (R = 0)와 4.24 MPa$$ \sqrt{m}$$ (R = 0.5)이다. Table 1은 본 연구에서 평가를 위하여 가정한 재료 조건이다.

Table 1

Material‘s conditions assumed for calculation

무한판 중에 길이 2c₀의 관통균열이 굽힘응력 σ_B을 받을 때의 응력확대계수K는 식 (1)로 구할 수 있다.

한편, 유한판 중의 반타원 표면균열의 응력확대계수 K는 Newman-Raju 식 (12)로 평가할 수 있다. 유한판 중에 길이2c, 깊이a의 반타원 표면균열이 굽힘응력 σ_B를 받을 경우, 응력확대계수 K는 식 (2)로 구할 수 있다.

여기서, H, F, Q는 굽힘응력에 대한 형상보정함수, t는 판 두께, b는 유한판 폭의 절반, ϕ는 K를 평가하는 반타원표면균열의 각도이다. β는 형상보정함수를 정리한 것이다. 유한판 중의 반타원 표면균열이 굽힘응력을 받는 경우, 동일한 응력에서 같은 K를 나타내는 무한판 중의 관통균열길이를 등가균열길이c_e로 하면, 식 (1)과 식 (2)는 식 (3)이 성립한다.

식 (3)을 정리하면, 식 (4)의 관계가 얻어진다.

응력비R의 굽힘응력을 받는 유한판 중의 반타원 균열에 대한 $$ \Delta K_{th}^R$$의 균열길이 의존성을 식 (5)로 구할 수 있다.¹¹⁾

여기서 Δσ_w는 평활재의 피로한도이다.

식 (5)는 식 (4)의 등가균열 깊이 및 등가균열 길이를 대입하면, 반타원 균열의 표면 및 깊이에서의 $$ \Delta K_{th}^R$$를 구할 수 있다.

응력비(R) 변화에 따른 $$ \Delta K_{th\left(l\right)}^R$$은 ASME 규격식 (6)으로 구하였다.

3. 결과 및 고찰

Fig. 1은 초고장력강(UHS steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 깊이(a)와의 관계이다. 이것은 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. ΔK_th는 응력비에 관계없이 As=0.3이 약간 크게 나타났다. 즉, R=0에서 As=1.0은 0.01 mm에서 3.11 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 4.97 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 5.31 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 5.62 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.01 mm에서 3.24 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 5.06 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 5.38 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 5.66 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. 한편 즉, R=0.5에서 As=1.0은 0.01 mm에서 1.67 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.07 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 3.41 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.76 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.01 mm에서 1.76 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.15 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 3.48 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.80 MPa $$ \sqrt{m}$$이었다. 이와 같이 짧은 균열에서 급격하게 증가하였으나, 약 0.1 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다.

Fig. 1

Relationship of crack depth and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) in case of 2 W＝50 mm, t＝10 mm

Fig. 2는 초고장력강(UHS steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 길이(c)와의 관계이다. 이것은 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. 균열 길이(c)는 균열 깊이(a)의 결과와 반대의 경향이 나타났다. 즉, As=1.0의 ΔK_th가 크게 나타났다. 즉, R=0에서 As=1.0은 0.01 mm에서 3.07 MPa $$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 4.94 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 5.29 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 5.61 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.03 mm에서 1.96 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 2.60 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 3.40 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.87 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1.7 mm에서 5.66 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. 한편 즉, R=0.5에서 As=1.0은 0.01 mm에서 1.65 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.04 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 3.39 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.74 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.03 mm에서 1.01 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 1.39 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 1.85 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 2.18 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1.7 mm에서 3.67 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. As=1.0의 ΔK_th는 균열 길이(c)와 균열 깊이(a)가 비슷하였으나, As=0.3은 균열 길이(c)가 작게 나타났다. 이와 같이 균열 깊이에 대한 ΔK_th는 As에 관계없이 비슷하였으나, 균열 길이는 As가 작은 것이 작게 나타났다. 균열 깊이와 마찬가지로 균열 길이도 짧은 균열에서 급격하게 증가하였다. 반면 As=1.0의 R=0와 0.5는 약 0.1 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였으나, As=0.3의 R=0는 약 1 mm, R=0.5는 약 1.5 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다.

Fig. 2

Relationship of crack length and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) in case of 2 W＝50 mm, t＝10 mm

Fig. 3은 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 깊이(a)와의 관계이다. 이것은 초고장력강과 마찬가지로 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다.

Fig. 3

Relationship of crack depth and ΔKth of mild steel (M steel) in case of 2 W＝50 mm, t＝10 mm

ΔK_th는 초고장력강과 마찬가지로 응력비에 관계없이 As=0.3이 약간 크게 나타났다. 즉, R=0에서 As=1.0은 0.01 mm에서 1.85 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.73 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 4.29 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 4.93 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.5 mm에서 5.49 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.01 mm에서 1.96 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.86 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 4.41 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm 5.02 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.5 mm에서 5.54 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. 한편, R=0.5에서 As=1.0은 0.01 mm에서 0.95 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 2.08 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 2.49 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.03 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1 mm에서 3.89 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.01 mm에서 1.00 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 2.17 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 2.59 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm 3.12 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1 mm에서 3.93 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. 이와 같이 작은균열에서 급격하게 증가하였으나, 약 0.3 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다. 그러나 연강은 초고장력강에 비하여 짧은 균열에서도 완만하게 증가하는 경향을 나타내어, 강도에 따른 특성이 나타나는 것이라고 판단된다.

Fig. 4는 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 길이(c)와의 관계이다. 이것은 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. 균열 길이(c)는 초고장력강과 마찬가지로 균열 깊이(a)의 결과와 반대의 경향이 나타났다. 즉, As=1.0의 ΔK_th가 크게 나타났다. 즉, R=0에서 As=1.0은 0.01 mm에서 1.83 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 3.69 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 4.26 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 4.91 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.03 mm에서 1.10 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 1.50 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 2.00 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 2.48 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1.7 mm에서 4.77 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. 한편 즉, R=0.5에서 As=1.0은 0.01 mm에서 0.94 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 2.05 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 2.46 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 3.01 MPa$$ \sqrt{m}$$이고, As=0.3은 0.03 mm에서 0.55 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.06 mm에서 0.75 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.1 mm에서 1.05 MPa$$ \sqrt{m}$$, 0.2 mm에서 1.30 MPa$$ \sqrt{m}$$, 1.7 mm에서 2.89 MPa$$ \sqrt{m}$$이었다. As=1.0의 ΔK_th는 초고장력강과 마찬가지로 균열 길이(c)와 균열 깊이(a)가 비슷하였으나, As=0.3은 균열 길이(c)가 작게 나타났다. Fig. 5는 초고장력강(UHS steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 깊이(a)와의 관계이다. 이것은 판폭 2 W=50 mm와 10 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. ΔK_th는 판폭 및 응력비에 관계없이 As=0.3이 근소하지만 약간 크게 나타났다. ΔK_th는 작은 균열에서 급격하게 증가하였으나, 약 0.2 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다. 이와 같이 균열 깊이에 대한 ΔK_th는 판폭 및 균열 종횡비에 의존하지 않고 일정하다는 것을 알 수 있다.

Fig. 4

Relationship of crack length and ΔKth of mild steel (M steel) in case of 2 W＝50 mm, t＝10 mm

Fig. 5

Relationship of crack depth and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) in case of 2 W＝50 mm and 10 mm

Fig. 6은 초고장력강(UHS steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 길이(c)와의 관계이다. 이것은 판폭 2 W=50 mm와 10 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. 균열 길이(c)의 ΔK_th는 응력비에 관계없이 짧은 균열길이에서 As=0.3이 As=1.0보다 크게 나타났다.

Fig. 6

Relationship of crack length and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) in case of 2 W＝50 mm and 10 mm

Fig. 7은 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 깊이(a)와의 관계이다. 이것은 판폭 2 W=50 mm와 10 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. 초고장력강(UHS steel)과 마찬가지로 균열 깊이에 대한 ΔK_th는 판폭 및 응력비에 관계없이 As=0.3이 근소하지만 약간 크게 나타났다. ΔK_th는 작은 균열에서 급격하게 증가하였으나, 약 0.4 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다. 이와 같이 균열 깊이에 대한 ΔK_th는 판폭 및 균열 종횡비에 의존하지 않고 일정하다는 것을 알 수 있다.

Fig. 7

Relationship of crack depth and ΔKth of mild steel (M steel) in case of 2 W＝50 mm and 10 mm

Fig. 8은 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 길이(c)와의 관계이다. 이것은 판폭 2 W=50 mm와 10 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. 균열 길이(c)의 ΔK_th는 응력비에 관계없이 짧은 균열길이에서 증가하였으며, 1 mm 이후에서 As=1.0이 As=0.3보다 크게 나타났다. 그리고 판폭 2 W=50 mm가 2 W=10 mm보다 급격하게 증가하였다. 이것은 판폭과 두께의 차이에 의한 영향이라 판단된다.

Fig. 8

Relationship of crack length and ΔKth of mild steel (M steel) in case of 2 W＝50 mm and 10 mm

Fig. 9는 초고장력강(UHS steel) 및 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 깊이(a)와의 관계이다. (a)와 (b)는 각각 판폭 2 W=50 mm, 두께 10 mm와 판폭 2 W=10 mm, 두께 3 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0과 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다. Fig. 9 (a), (b)에서 ΔK_th와 균열 깊이(a)에 대한 판폭 및 두께의 영향은 없었다. 즉, ΔK_th는 균열 깊이가 증가함에 따라서 비슷하게 증가하여 긴균열의 ΔK_th로 수렴하고 있다. 초고장력강(UHS steel)의 ΔK_th는 짧은 균열 구간에서 연강(M stee)l보다 크게 나타났으며, 긴균열이 될수록 비슷해지고 있다. 그리고 ΔK_th는 강종 및 시험편 크기에 관계없이 균열종횡비 0.3이 1.0보다 약간 크게 나타났다. Fig. 10은 초고장력강(UHS steel) 및 연강(M steel)에서 얻어진 하한계응력확대계수(ΔK_th)와 균열 길이(c)와의 관계이다. (a)와 (b)는 각각 판폭 2 W=50 mm, 두께 10 mm와 판폭 2 W=10 mm, 두께 3 mm에 따르는 영향을 비교한 것으로, 응력비(R) 0와 0.5, 균열 종횡비(As) 1.0과 0.3의 결과이다.

Fig. 9

Relationship of crack depth and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) and Mild steel (M steel). (a) 2 W＝50 mm, t=10 mm, (b) 2 W＝10 mm, t=3 mm

Fig. 10

Relationship of crack length and ΔKth of ultra high strength steel (UHS steel) and Mild steel (M steel). (a) 2 W＝50 mm, t=10 mm, (b) 2 W＝10 mm, t=3 mm

Fig. 10 (a), (b)에서 ΔK_th와 균열 길이(c)에 대한 판폭 및 두께의 영향은 없었다. 단, 판폭 2 W=10 mm와 두께 3 mm의 As=1.0은 균열 길이 4 mm에서 긴균열의 ΔK_th에 수렴하였다. 이것은 두께의 영향이다. 그러나 균열 깊이와 마찬가지로 ΔK_th는 균열 길이가 증가함에 따라서 강종 및 종횡비 및 응력비에 관계없이 증가하여 긴균열의 ΔK_th로 수렴하고 있다. 초고장력강(UHS steel)의 ΔK_th는 짧은 균열 구간에서 연강(M steel)보다 훨씬 크게 나타났으며, 전 균열 길이에서 크게 나타났다. 균열이 될수록 비슷해지고 있다. 그리고 ΔK_th는 강종 및 시험편 크기에 관계없이 균열종횡비 1.0이 0.3보다 훨씬 크게 나타나, 균열 깊이와 반대현상이다. 이것은 응력이 작용하는 표면균열의 응력확대계수는 깊이보다 더 크게 나타나기 때문이다.

4. 결 론

본 연구는 소성거동을 비선형문제로 취급한 식을 사용하여, 시험편 치수, 균열 종횡비(As) 및 응력비(R)에 따르는 임의의 균열에 대한 하한계응력확대계수(ΔK_th)의 영향을 평가하였다.

1) 초고장력강(UHS steel)의 ΔK_th는 짧은 균열 깊이 및 길이에서 급격하게 증가하였다. 균열깊이는 균열 종횡비(As) 및 응력비(R)에 관계없이 약 0.1 mm에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다. 균열 길이는 균열 종횡비에 따라서 다르게 나타났다. As=1.0은 균열 깊이와 같은 경향을 나타내었으나, As=0.3은 약 1 mm(R=0), 약 1.5 mm(R=0.5)에서 완만하게 증가하여 긴 균열의 ΔK_th에 수렴하였다.

2) 연강(M steel)은 초고장력강에 비하여 짧은 균열 깊이 및 길이에서 완만하게 증가하는 경향을 나타내어, 재료 강도에 따라 다른 특성이 나타났다.

3) 초고장력강(UHS steel) 및 연강(M steel)의 ΔK_th는 판폭 및 균열 종횡비에 의존하지 않고 일정하였다.

4) 균열 깊이에 대한 ΔK_th는 강종 및 시험편 크기에 관계없이 균열종횡비 0.3이 1.0보다 약간 크게 나타났다. 균열 길이는 균열종횡비 1.0이 0.3보다 훨씬 크게 나타났다.

Author contributions

K. W. Nam; Writing-review & editing, J. Y. Hyun; Writing-original draft and conceptualization, M. H. Kim; Investigation and calculation.

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