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Fig. 1은 Bosch Rexroth의 비례압력 릴리프 밸브의 개략도이다.¹¹⁾ 파일럿 압력에 의해 구동되는 밸브 시스템의 전달함수는 이전 연구에 의해 식 (1)과 같이 동정되었다.¹²⁾

Fig. 1 
Model of pilot operated proportional pressure relief valve

슬라이딩 모드 제어기를 설계하기 위하여 시간지연을 고려하지 않은 식 (1)을 식 (2)와 같이 상태공간으로 표현한다.

여기서, xt=x1x2T, x1=p, x2=x˙1,a1=1755.121, a2=42.617, b1=547.852, τ=0.083이다.

슬라이딩 모드 제어기의 설계 목표는 주어진 밸브의 출력 압력 p와 기준 압력 p_r 사이의 오차 e를 최소로 하는 레귤레이터를 설계하는 것이다. 따라서 식( 2)와 같이 상태변수가 2개인 시스템에 대하여 식 (3)과 같은 슬라이딩 평면을 정의한다.

슬라이딩 모드의 도달가능성 조건을 만족하기 위하여 주어진 슬라이딩 평면에 대한 Lyapunov 방정식을 식 (4)와 같이 정의한다.

슬라이딩 모드 제어기의 제어 입력 u는 등가 제어 입력 u_eq과 스위칭입력 u_s의 합으로 나타낼 수 있으며, 이는 식 (5)와 같다.

슬라이딩 모드 조건(s˙=0)으로부터 등가 제어입력 u_eq를 구하면, 식 (6)과 같다.

여기서, e=p-pr, e˙=p˙-p˙r, e¨=p¨-p¨r 이다. 외란 d의 경우 측정이 난해한 값이기 때문에 등가 제어입력에서 직접 사용하기가 힘들다. 하지만, 외란 d와 오차 e가 비례관계를 가지므로, 외란 d를 대신하여 Φe를 활용한다. 이때 미지수 c₁은 극배치법을 활용하여 선정할 수 있다.¹⁰⁾

스위칭 입력 u_s는 갑작스런 스위칭 동작을 회피하기 위하여 식 (10)과 같이 근사화된 식을 활용한다.

스위칭 입력 u_s는 갑작스런 스위칭 동작을 회피하기 위하여 식 (10)과 같이 근사화 된 식을 활용한다. Fig. 2는 모델링 오차가 20%일 때 설계된 SMC를 사용하는 제어시스템의 스텝응답을 나타낸 것이며, Fig. 3은 기준 입력의 20% 크기를 가지는 외란에 대한 스텝응답 결과를 나타낸 것이다. 설계 의도와 일치하게 정상상태 오차가 없는 응답을 얻을 수 있었다.

Fig. 2 
Step response with 20% modeling error

Fig. 3 
Step response with step disturbance

Fig. 4는 Smith 예측기의 원리를 나타낸 블록선도이다. Smith의 원리는 ‘시간 지연을 가지는 시스템으로부터 원하는 출력은 시간 지연을 가지지 않은 시스템의 원하는 출력을 구하고 이를 시간 지연 요소만큼 지연한 것과 같다’는 것이다.¹⁾ 즉 식 (11)을 만족한다는 것이다.

Fig. 4 
Block diagram for time delayed system and smith predictor

Fig. 4 (a)의 시스템에 대한 특성방정식은 시간 지연 요소인 e^-sτ를 포함하고 있기 때문에 개루프 게인에 따라 시스템이 불안정해지기도 한다. 하지만, Smith의 원리를 통해 시간 지연을 가지는 시스템을 Fig. 4 (b)와 같이 두면 특성방정식 내시간 지연 요소 e^-sτ가 사라지게 되어 제어기에 의해 안정한 시스템이 구성되게 된다.

Fig. 5는 시간 지연 요소가 있을 때, 슬라이딩 모드 제어기를 포함하는 시스템의 스텝응답을 나타낸 것이며, Fig. 6은 Smith 예측기를 활용한 시스템의 스텝응답을 나타낸 것이다. 간단한 구조 변경을 통해 시간 지연 요소를 쉽게 보상할 수 있다.

Fig. 5 
Step response with time delay(0.083s)

Fig. 6 
Step response of Smith predictor with time delay(0.083s)

Smith 예측기는 피드백 루프에 제어 대상에 대한 모델을 직접 포함시켜 시간 지연의 영향을 생략한 형태의 제어기이다. 하지만 Smith 예측기에 사용되어지는 제어 대상에 대한 수학적 모델은 실제 제어대상을 명확히 표현하기 힘들며, 이에 따라 적당한 모델링 오차를 가지고 있다. 따라서 실제 모델의 전달함수를 (G+ΔG)e^-sτ라고 둘 수 있을 때, Smith 예측기와 모델링 오차를 포함하는 시스템의 전달함수 G_c(s)는 식 (12)와 같다.

즉 Smith 예측기를 구성하면서 발생한 모델링 오차는 정상상태 오차의 형태로 나타나게 된다. Fig. 7은 20% 모델링 오차에 따른 Smith 예측기의 스텝응답을 나타낸 그림이다. 모델링 오차가 지속적으로 정상상태 오차의 형태로 나타나는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 7 
Step response of Smith predictor with 20% modeling error

이러한 정상상태 오차를 제거하기 위해 본 연구에서는 상태관측기를 도입한다. Smith 예측기와 실제 모델과의 차이를 식 (13)과 같은 상태관측기를 통해 구해진 상태를 통해 보상한다.

여기서, Smith 예측기 게인 L_p는 상태 천이 행렬로 e^Aτ이다.¹³⁾Fig. 8은 상태 관측기를 포함하는 Smith 예측기의 스텝응답을 나타낸 것이다. 모델링 오차를 보상함으로써 정상상태 오차가 사라진 것을 확인할 수 있다.

Fig. 8 
Step response of Smith predictor and state observer with 20% modeling error

2.1절에서 설계한 슬라이딩 모드 제어기는 Fig. 3에서처럼 주어진 외란을 잘 보상하고 있다. 하지만 Smith 예측기를 사용함에 따라 시스템에 주어지는 외란이 모델링 오차와 마찬가지로 정상상태 오차의 형태로 나타나게 된다. Fig. 9는 Smith 예측기에 외란을 가했을 때의 결과를 나타내고 있다.

Fig. 9 
Step response of Smith predictor with step disturbance

이러한 외란에 의한 정상상태 오차를 보상하기 위해서는 Smith 예측기 내에 외란에 관한 항을 포함시켜야 하나, 불확실성을 가지는 외란은 측정하거나 모델링을 할 수 없다. 따라서 불확실한 외란을 보상하기 위해서는 외란 관측기를 설계하여 보상할 필요가 있다. Smith 예측기의 모델링 오차를 개선하는데 이미 상태 관측기를 사용하고 있으며, 본 연구에서는 이 상태 관측기의 차원을 확장하여 외란 관측기로 사용하고자 한다.

식 (14)는 외란 관측기를 포함하는 제어시스템의 상태방정식이다.

여기서, x^는 x의 추정치이며, y^는 y의 추정치이다.

xo=x1x2dT, x3=d, Co=100

Ao=010-a1-a2-b1000, Bo=0b10

이때, 상태관측기의 게인 g는 극배치법을 통해 구할 수 있다.

Fig. 10은 외란관측기와 Smith 예측기를 포함하는 제어 시스템의 블록선도이다. 전체 시스템의 제어는 슬라이딩 모드 제어기가 맡고 있으며, 시간 지연을 보상하기 위하여 Smith 예측기를 사용하였다. Smith 예측기를 사용하면서 발생하는 모델링 오차 및 외란에 의한 정상상태 오차는 외란 관측기를 통해 보상되고 있으며, 이를 통해 유압시스템의 개루프 게인을 증가시키더라도 시스템이 안정하게 유지된다. 즉 유압시스템의 응답성이 개선될 수 있다.

Fig. 10 
Block diagram of controlled system

Fig. 11은 Fig. 10과 같은 시스템에 대하여 Table 1과 같은 변수를 가질 때, 0.083s의 시간지연, 20% 모델링 오차와 기준입력의 20% 크기를 가지는 외란에 대한 스텝응답을 나타낸 것이다. 기준입력 또는 외란에 따라 내부 상태가 변하는 시간에서 오버슈트가 크게 존재하나 정상상태 오차 없이 목표치를 잘 추종함을 알 수 있다. Fig. 11에서 나타난 큰 오버슈트는 모델링 오차 및 외란에 의해 결정되어지는 값으로 모델링 오차 및 외란이 작은 일반 시스템에서는 충분히 작은 값을 가진다.

Fig. 11 
Step response of controlled system with time delay(0.083s), 20% modeling error and disturbance