Current Issue

Fig. 1에 나타낸 해석 모델은 반경이 R이고 열림각(opening angle)이 α인 일정 단면을 갖는 탄성지지된 호이다. Fig. 1의 x축과 y축 방향은 각각 호의 접선과 반경 방향이고, z축 방향은 x축과 y축에 수직이면서 기초를 향하는 방향이다.

Fig. 1 
Analytical model

호 전체는 다수의 호 요소(Fig. 2 참조)로 분할되고, 이 분할점을 절점이라 한다. 호 전체를 n개의 호 요소로 분할하면 절점은 총 n+1개가 존재하며, 첫 번째 절점에서 마지막 절점까지 각 절점을 순차적으로 절절 0, 절점 1, 절점 2, …, 절점 n이라고 부른다.

Fig. 2 
The i-th arc element

각 절점의 변위벡터(d = {ψ ϕ w}^T)는 x축과 y축 방향의 각변위 ψ와 ϕ, 그리고 z축 방향의 변위 w로 구성되고, 힘벡터(f = {T M Q}^T)는 토크 T, 모멘트 M 그리고 전단력 Q로 구성된다. 그리고 호 요소에 대한 변위 및 힘의 정방향은 Fig. 2에 나타내었다.

절점들은 스프링상수가 k_z인 z축 방향의 병진 스프링과 스프링상수가 K_x와 K_y인 x축과 y축 방향의 회전 스프링으로 기초로부터 지지될 수 있다. 전달영향계수법에서는 호의 시작단과 끝단의 경계조건을 상기 3방향의 스프링상수(K_x, K_y, K_z)로 모델링한다. 예를 들면, 시작단의 변위가 고정인 경우에는 절점 0의 해당 스프링상수 값을 ∞에 상당하는 큰 값으로 고려하고, 끝단의 변위가 자유인 경우에는 절점 n의 해당 스프링상수 값을 0으로 한다.

면외 자유진동을 하는 티모센코 호의 미분방정식은 다음과 같다.¹¹⁾

여기서 E와 G는 호의 종탄성계수와 횡탄성계수이고, A는 단면적, I는 단면2차모멘트, I_p는 극단면2차모멘트, J는 비틀림상수, κ는 전단계수, ρ는 밀도, ω는 고유 각진동수이다.

식 (1)을 무차원 상태벡터의 미분 방정식으로 표시하면 다음 식과 같고

여기서

이고, λ는 진동수 파라미터λ=ωR2ρA/EI이다. 해석의 단순화를 고려하여 무차원 변위벡터d¯=ψ¯ ϕ¯ w¯T와 힘벡터f¯=T¯ M¯ Q¯T로 구성되는 무차원 상태벡터z¯=d¯T f¯TT를 도입한다.¹¹⁾

임의의 절점 i의 무차원 변위벡터를 d¯i라고 하고, 절점 i의 좌측과 우측의 무차원 힘벡터를 각각 f¯iL와 f¯iR라고 하면, 이들 벡터 사이의 관계를 다음 식과 같이 정의한다.

여기서 TiL 및 TiR는 절점 i 좌측 및 우측의 영향계수행렬이다.

절점 i-1과 절점 i 사이에 있는 i번째 호 요소(Fig. 2 참고) 좌우측의 무차원 상태벡터 사이의 관계를 전달행렬(B_i)을 이용하여 나타내면

로 되고, 식 (2)를 이용하여 풀면 식 (6)의 전달행렬(B_i)은 다음 식과 같이 멱급수 형태로 유도할 수 있다.¹²⁾

여기서 I는 6×6 크기를 갖는 단위행렬이다. 식 (6)의 무차원 상태벡터z¯를 무차원 변위벡터d¯와 힘벡터f¯ 그리고 전달행렬(B_i)의 부분행렬 (P_i, Q_i, R_i, S_i)로 표시하면 다음 식과 같다.

식 (5)의 i 대신에 i-1을 대입한 식과 식 (4)를 식 (8)에 대입하여 정리하면 식 (9)와 같이 i번째 호 요소 좌우측의 영향계수의 전달식을 유도할 수 있고, 이 식을 필드 전달식이라고 부른다.

여기서

이다.

기초로부터 스프링으로 지지된 절점 i에서 힘의 평형식은 다음 식과 같고

여기서

이다.

식 (4), (5), (11)을 이용하여 정리하면 식 (13)과 같이 i번째 절점 좌우측의 영향계수의 전달식을 유도할 수 있고, 이 식을 포인트 전달식이라고 부른다.

식 (9)와 식 (13)을 통합하면 식 (14)와 같은 필드-포인트 전달식을 유도할 수 있다.

여기서

이다.

시작단의 경계조건을 절점 0의 스프링상수로 모델링하면, 절점 0 좌측의 힘벡터는 영벡터가 된다. 따라서 절점 0 우측의 힘벡터는 f¯0R=K0d¯0가 되고, 여기에 식 (4), (5), (8), (11)의 i 대신에 0을 대입한 식들을 이용하면 식 (16)과 같이 절점 1 우측의 영향계수행렬T1R을 구할 수 있다.

여기서

이다.

따라서 식 (16)을 시작으로 식 (14)의 필드-포인트 전달식을 연쇄적으로 적용하면 절점 n 우측의 영향계수행렬TnR을 구할 수 있다.

식 (5)의 i 대신에 i-1을 대입한 식과 식 (8) 및 식 (10)으로부터

가 되고, 식 (5), (14), (18)의 i 대신에 n을 대입한 식을 이용하면 다음 식을 유도할 수 있다.

끝단의 경계조건을 절점 n의 스프링상수로 모델링하면, 절점 n 우측의 힘벡터f¯nR는 영벡터가 된다. 그리고 절점 n-1 우측의 힘벡터f¯n-1R는 영벡터가 아니므로 이를 식 (19)에 적용하면 다음과 같은 진동수 방정식을 유도할 수 있다.

따라서 식 (20)을 만족하는 λ 값이 진동수 파라미터가 된다.

식 (5)의 i 대신에 i-1을 대입한 식과 식 (8) 및 식 (10)으로부터 다음 식을 유도할 수 있다.

식 (20)을 이용하여 고유진동수를 구한 후, 식 (19)로부터 절점 n-1 우측의 힘벡터f¯n-1R를 먼저 계산한다. 그리고 식 (18)의 i 대신에 n을 대입한 식으로부터 절점 n의 변위벡터d¯n를 구할 수 있다. 절점 n-1부터 절점 1까지의 변위벡터는 식 (21)을 이용하면 순차적으로 모두 계산할 수 있다.

절점 0의 변위벡터는 아래 식 (22)를 이용하면 계산할 수 있다. 식 (22)는 식 (17)과 T0R=K0-1 그리고 식 (5)의 i 대신에 0을 대입한 식과 식 (8)의 i 대신에 1을 대입한 식을 이용하여 유도할 수 있다.

첫 번째 계산 모델은 Irie 등⁸⁾이 제시한 논문에서 사용된 수치 모델로써, 경계조건이 양단 고정이고 사각 단면을 갖는 호이다. 호의 치수 및 물성치는 프와송 비(ν)가 0.3, 전단계수(κ)가 0.85, 세장비RA/I가 100이다.

경계조건이 양단 고정이므로 전달영향계수법에서는 계산 모델 1의 첫 번째 절점 및 마지막 절점의 스프링상수(K_x, K_y, k_z) 값이 10²⁰인 스프링들로 지지되어 있는 것으로 고려하였다.

Table 1에는 호의 열림각(α)이 60°일 때, 전달영향계수법(TICM) 및 Irie 등⁸⁾이 전달행렬법으로 구한 1차부터 4차까지의 진동수 파라미터를 제시한다. Table 1을 살펴보면, 2가지 방법으로 계산한 진동수 파라미터가 동일함을 알 수 있다. Table 2와 Table 3은 열림각이 각각 120°와 180°일 때 양 방법으로 구한 진동수 파라미터이다. 여기에서도 양 방법의 계산 결과가 일치하였다. 따라서 이 연구에서 제안한 방법인 전달영향계수법의 신뢰성을 확인할 수 있었다.

Table 1, 2, 3의 결과를 살펴보면, 호의 열림각이 증가할수록 고유진동수와 관련이 깊은 진동수 파라미터가 감소함을 알 수 있다. 이것은 열림각이 증가할수록 호의 길이가 길어지므로 호의 강성은 줄어들고 질량은 늘어나기 때문이다.

두 번째 계산 모델은 Irie 등⁹⁾이 제시한 수치 모델로써, 경계조건이 양단 고정이고 원형 단면을 갖는 호이다. 모델의 포와송 비는 0.3, 전단계수는 0.89, 세장비는 20, 열림각은 120°이다.

Table 4에 전달영향계수법(TICM) 및 Irie 등⁹⁾이 전달행렬법으로 구한 1차부터 4차까지의 진동수 파라미터를 제시한다. Table 4를 보면 양 방법의 계산 결과가 거의 동일함을 알 수 있다.

Fig. 3는 전달영향계수법으로 계산 모델 2의 1차부터 4차까지 고유모드를 계산한 결과이다.

Fig. 3 
Natural modes of computational model 2

Irie 등⁹⁾이 그들의 논문에서 제시한 결과와 잘 일치함을 알 수 있다. 1차부터 4차까지의 고유모드를 살펴보면, 4차 고유모드에서 비틀림 진동이 지배적임을 알 수 있다.

세번째 계산 모델은 Lee 등¹⁰⁾이 그들의 연구에서 제시한 바 있는 수치 모델로써, 경계조건이 양단 고정이고 호의 중앙에 힌지가 존재하는데 이 힌지에서 비틀림각(ψ)과 처짐량(w)은 0이다. 호는 반경(R)이 30 cm, 사각 단면(폭 2.1 cm, 높이 0.135 cm)을 가지며 열림각이 76°, 종탄성계수가 205.8 GPa, 횡탄성계수가 79.15 GPa, 밀도는 7850 kg/m³이다.

계산 모델 3의 힌지 부분을 z축 방향의 병진스프링과 x축 방향의 회전스프링으로 모델링하고 스프링상수(k_z, K_x) 값에 각각 10²⁰을 대입하여 전달영향계수법으로 고유진동수를 계산하였고, 그 결과를 Table 5에 제시한다. 동일 모델에 대한 Lee 등¹⁰⁾의 결과와 비교해 보면 전달영향계수법으로 구한 고유진동수의 신뢰성을 확인할 수 있었다.

한편, 저자들은 전달행렬법을 이용하여 호의 면외 자유진동을 해석하는 전산 프로그램을 직접 만들어 상기 계산 모델 1과 2에 대해 적용하여 신뢰성을 확인한 다음, 계산 모델 3의 고유진동수를 구하려고 시도하였으나 계산 모델 3의 고유진동수를 구할 수 없었다. 이것은 구조물의 중간에 경탄성지지가 존재할 경우 일반적인 전달행렬법으로는 해석이 곤란하다는 것을 확인할 수 있었다.